Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
J.
Emich-Kokot
17.
POMIAR POJEMNOŚCI KONDENSATORA METODĄ
MOSTKA WHEATSTONE'A
17.1. Wprowadzenie
Dostarczenie przewodnikowi ładunku powoduje wzrost jego potencjału, przy czym
potencjał odosobnionego przewodnika jest proporcjonalny do zgromadzonego na nim
ładunku:
Q=C·V
(17.1)
gdzie:
Q -
ładunek elektryczny,
V -
potencjał,
C - pojemność elektryczna.
Współczynnik proporcjonalności w tej zależności nosi nazwę pojemności elektrycznej
przewodnika i jest definiowany
def
Q
C~-
V
(17.2)
Jednostką pojemności jest farad: 1F jest to pojemność takiego przewodnika w którym
zmiana ładunku o l kulomb powoduje zmianę potencjału o l wolt
IF
=
IC
IV
Praktyczne znaczenie mają jednak nie pojedyncze przewodniki, lecz ich układy
składające się z dwóch (lub więcej) przewodników różnoimiennie naładowanych rów-
nymi pod względem wielkości ładunkami. Przewodniki tworzące kondensator nazywa
się jego okładkami. Aby uchronić kondensator od wpływu pól zewnętrznych, jego
okładkom nadaje się taki kształt, aby pole wytwarzane przez zgromadzony na nich ładu-
nek było prawie całkowicie zawarte wewnątrz kondensatora; taki warunek spełniają
układy dwóch blisko położonych równoległych płytek, współśrodkowe kule lub współo-
siowe cylindry. Ze względu na kształt geometryczny okładek określamy je odpowiednio
kondensatorami płaskimi, sferycznymi lub cylindrycznymi. Pojemność kondensatora
(jak i pojemność izolowanego przewodnika) nie zależy od doprowadzonego do niego
ładunku ani od potencjału (czy napięcia między okładkami). O pojemności kondensatora
(przewodnika) decydują: kształt, wielkość i rozmieszczenie okładek oraz rodzaj dielek-
tryka wypełniającego przestrzeń między nimi. Pojemność kondensatora C (całkowicie
wypełnionego dielektrykiem) jest
E:
razy większa od pojemności
Co
kondensatora próż-
niowego.
(17.3)
C-eC
o
(17.4)
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
113
-
POMIAR POJEMNOŚCI KONDEN8A TORA ...
gdzie
C
= -
Jest względną przenikalnością dielektryczną materiału wypełniającego
Co
Cd .
kondensator,
co - przenikalność dielektryczna próżni (w przybliżeniu również powietrza).
Pojernność kondensatora płaskiego wyraża się wzorem
C
=
&0&
S
d
(17.5)
gdzie:
S - pole powierzchni jednej okładki
d -
odległość między okładkami
ł:-
względna przenikalność elektryczna dielektryka wypełniającego kondensator.
Jeżeli kondensator składa się z
n
płytek, to
C
=
&o&S(n
-1)
d
(17.6)
l:Ifr
Pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi w przybliżeniu
(17.7)
C~
gdzie;
R
I
i
R
2
to promienie wewnętrznego i zewnętrznego cylindra,
/- długość kondensatora.
We wzorze tym zaniedbujemy rozproszenie pola na skrajach okładek. lm mniejsza jest
różnica między promieniami cylindrów
(RrR
1)
w stosunku do
l,
tym wzór jest dokład-
niejszy.
Dla kondensatora sferycznego
C
=
4JC&oc:R
1
R
2
•
R
2
-R[ ,
gdzie
R
1
i
R
2
odpowiednio promienie wewnętrznej i zewnętrznej kuli.
Należy też wspomnieć, że każdy kondensator posiada jeszcze jeden charakterystyczny
dla niego parametr. Jest to tzw. napięcie przebicia lub
U
1l1""
przekroczenie którego po-
woduje rozładowanie kondensatora poprzez warstwę dielektryka, powodując jego czę-
ściowe zniszczenie, a więc również zmianę własności kondensatora.
Kondensatory można łączyć w baterie, przy czym
wyróżniamy
dwa podstawowe typy
połączeń: szeregowe i równoległe.
Przy połączeniu szeregowym mamy
C
1
C
2
(17.8)
C']
U
Rys.
17.1.
Bateria kondensatorów polączonych szeregowo
114
Ćwiczenia laboratoryjne
z
iizyk!
J.
Emich-Kokot
U =U
I
+U
2
+",+U
n
Q=Ql
=Q2
= ..·=Qn
(17.9)
(17.10)
P·
omewaz z e.
= -
więc mozna zapisac
C
.
dfU
Q.
. ..
U
=~
U
=Q2
I
C'
2
C'
l
2
u
=Qn
n
C
n
i
dalej podstawiając do (17.9)
Q
=~+
Q2
+ ...+
Qn
C CI
C
2
Cn
a orzystając z 17.1 mamy-
=-+-+ ..+-.
o po ie emu stronami przez
C C] C
2
k
. (O)
Q
Q
Q
c,
p
dzi l .
.
Q
otrzymamy:
1 1 1 1
-=-+-+ ..+-
C
CI C
2
c,
07.1I)
Dla połączenia równoległego możemy zapisać
•
•
•
•
~~
U
Rys.
17.2.
Bateria kondensatorów połączonych równolegle
U =U
I
=U
2
=",=U
n
Q=QI +Q2 + ..·+Qn
(17.12)
(17.13)
Ponieważ
Q=UC,
QI=C1U
p
Q2=C
2
U
2,
Qn=CnU
n
to po podstawieniu tych zależności do równania (17.13) otrzymamy
CU
=
C]
U, +C
2U
2
+ ... +CnU
n,
a po podzieleniu stronami przez
U
mamy
C
=
CI
+C
2
+...+
C
n
(17.14)
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
lIS
Q
•
•
POMIAR POJEMNOŚCI KONDENSA TORA ...
Ogólnie można zapisać
n
C="C
~
l
(17.15)
i=1
17.2. Opis ćwiczenia
Do wyznaczenia pojemności mierzonego kondensatora użyjemy układu przedsta-
wionego na rys.17.3, który wykorzystuje zasadę działania tzw. mostka Wheatstone'a.
Do wyznaczania szukanej wartości w układzie rozgałęzionym wykorzystuje się zależno-
ści znane pod nazwą I i II prawo Kirchhotfa.
Najkrócej można zapisać że:
I - Suma algebraiczna prądów schodzących się w węźle jest równa zeru.
IJ\
LII:
=0
(17.16)
k=l
n-
Dla obwodu zamkniętego (tzw. oczko) suma algebraiczna spadków napięć
i
sił elek-
tromotorycznych źródeł znajdujących się w tym obwodzie jest równa zeru.
IJ\
n
LR"A
+
LEi
=
O
k=l
(17.17)
i=l
E
A
B
G
Rys.
17.3.
Schemat połączenia układu
Zasada pomiaru polega na zrównoważeniu mostka, czyli doprowadzeniu do sytu-
acji, w której pomiędzy punktami D i E nie ma różnicy potencjałów, a więc w słuchaw-
kach (S) nie płynie prąd. Jeżeli natężenie prądu płynącego w gałęzi ADB oznaczymy 11 ;
a w gałęzi AEB - /z, to zgodnie z II prawem Kirchhoffa można zapisać
RJ2 =R
2
I,
oraz
R
cJ2
=R/
1
(17.18)
dzieląc równania stronami otrzymamy
Re _ R
2
Rex
s,
Ponieważ w omawianym układzie opory
R.
i
R
2
są tej samej wartości
(R,
=
R
2),
więc
można zapisać, że
(17.19)
116
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
r
J.
Emich-Kokot
Wiedząc, że
Rex
= ---
i
Re
= --,
otrzymamy (17.20)
2ifC
x
1
l
2ifC
Cx=C
(17.20)
17.2. Wykonanie ćwiczenia:
1. Połączyć układ wg schematu (rys. 17.3).
2. Dobierając wartości pojemności C kondensatora dekadowego doprowadzić do zrów-
noważenia mostka. Wówczas wartość pojemności mierzonego kondensatora
C,
jest
równa wartości pojemności kondensatora dekadowego C.
Pomiary wykonać pięciokrotnie dla pojedynczych kondensatorów o nieznanej po-
jemności. Wyznaczyć wartość średnią C
xir,
a następnie obliczyć niepewność stan-
dardową u(C
xi,)
z zależności 1.5. Wykonać pomiary dla kilku kondensatorów
ex
po-
łączonych szeregowo, a następnie dla połączonych równolegle.
TABELA POMIARÓW
Nr
Pomiar Pomiar Pomiar Pomiar Pomiar Wartość
kondensatora
l
2
3
4
5
średnia C
C [nF] C[ nF] CrnFl
C [nF] C[nF]
[nF ]
CI
C
2
C
3
C
4
C
5
Poł.
szeregowe
C
,.
iC
-,
Poł.
równoległe
C
-,-
iC
,.-
3. Stosując omówione we wstępie zasady liczenia pojemności zastępczej dla połączeń
szeregowych i równoległych, wyliczyć te wartości dla użytych kondensatorów, ko-
rzystając z wyznaczonych wcześniej wartości średnich pojedynczych kondensatorów
C
xś"
4. Dla połączeń szeregowych i równoległych policzyć niepewność złożoną korzystając
z zal.l .16 ( znaj ąc niepewności standardowe C
xi,).
Porównać wartości uzyskane przy pomiarze pojemności zastępczej dla kondensato-
rów połączonych z wielkościami uzyskanymi z obliczenia tych pojemności przy za-
stosowaniu matematycznych zasad wyznaczania pojemności kondensatorów połą-
czonych.
LITERATURA
[1] SZYDŁOWSKI H.: Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.
[2] REW AJ T.: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki w politechnice, PWN, Warszawa
1978.
[3] SZCZENIOWSKI S.: Fizyka doświadczalna, tom III, PWN, Warszawa 1980.
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
117
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Emich-Kokot
17.
POMIAR POJEMNOŚCI KONDENSATORA METODĄ
MOSTKA WHEATSTONE'A
17.1. Wprowadzenie
Dostarczenie przewodnikowi ładunku powoduje wzrost jego potencjału, przy czym
potencjał odosobnionego przewodnika jest proporcjonalny do zgromadzonego na nim
ładunku:
Q=C·V
(17.1)
gdzie:
Q -
ładunek elektryczny,
V -
potencjał,
C - pojemność elektryczna.
Współczynnik proporcjonalności w tej zależności nosi nazwę pojemności elektrycznej
przewodnika i jest definiowany
def
Q
C~-
V
(17.2)
Jednostką pojemności jest farad: 1F jest to pojemność takiego przewodnika w którym
zmiana ładunku o l kulomb powoduje zmianę potencjału o l wolt
IF
=
IC
IV
Praktyczne znaczenie mają jednak nie pojedyncze przewodniki, lecz ich układy
składające się z dwóch (lub więcej) przewodników różnoimiennie naładowanych rów-
nymi pod względem wielkości ładunkami. Przewodniki tworzące kondensator nazywa
się jego okładkami. Aby uchronić kondensator od wpływu pól zewnętrznych, jego
okładkom nadaje się taki kształt, aby pole wytwarzane przez zgromadzony na nich ładu-
nek było prawie całkowicie zawarte wewnątrz kondensatora; taki warunek spełniają
układy dwóch blisko położonych równoległych płytek, współśrodkowe kule lub współo-
siowe cylindry. Ze względu na kształt geometryczny okładek określamy je odpowiednio
kondensatorami płaskimi, sferycznymi lub cylindrycznymi. Pojemność kondensatora
(jak i pojemność izolowanego przewodnika) nie zależy od doprowadzonego do niego
ładunku ani od potencjału (czy napięcia między okładkami). O pojemności kondensatora
(przewodnika) decydują: kształt, wielkość i rozmieszczenie okładek oraz rodzaj dielek-
tryka wypełniającego przestrzeń między nimi. Pojemność kondensatora C (całkowicie
wypełnionego dielektrykiem) jest
E:
razy większa od pojemności
Co
kondensatora próż-
niowego.
(17.3)
C-eC
o
(17.4)
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
113
-
POMIAR POJEMNOŚCI KONDEN8A TORA ...
gdzie
C
= -
Jest względną przenikalnością dielektryczną materiału wypełniającego
Co
Cd .
kondensator,
co - przenikalność dielektryczna próżni (w przybliżeniu również powietrza).
Pojernność kondensatora płaskiego wyraża się wzorem
C
=
&0&
S
d
(17.5)
gdzie:
S - pole powierzchni jednej okładki
d -
odległość między okładkami
ł:-
względna przenikalność elektryczna dielektryka wypełniającego kondensator.
Jeżeli kondensator składa się z
n
płytek, to
C
=
&o&S(n
-1)
d
(17.6)
l:Ifr
Pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi w przybliżeniu
(17.7)
C~
gdzie;
R
I
i
R
2
to promienie wewnętrznego i zewnętrznego cylindra,
/- długość kondensatora.
We wzorze tym zaniedbujemy rozproszenie pola na skrajach okładek. lm mniejsza jest
różnica między promieniami cylindrów
(RrR
1)
w stosunku do
l,
tym wzór jest dokład-
niejszy.
Dla kondensatora sferycznego
C
=
4JC&oc:R
1
R
2
•
R
2
-R[ ,
gdzie
R
1
i
R
2
odpowiednio promienie wewnętrznej i zewnętrznej kuli.
Należy też wspomnieć, że każdy kondensator posiada jeszcze jeden charakterystyczny
dla niego parametr. Jest to tzw. napięcie przebicia lub
U
1l1""
przekroczenie którego po-
woduje rozładowanie kondensatora poprzez warstwę dielektryka, powodując jego czę-
ściowe zniszczenie, a więc również zmianę własności kondensatora.
Kondensatory można łączyć w baterie, przy czym
wyróżniamy
dwa podstawowe typy
połączeń: szeregowe i równoległe.
Przy połączeniu szeregowym mamy
C
1
C
2
(17.8)
C']
U
Rys.
17.1.
Bateria kondensatorów polączonych szeregowo
114
Ćwiczenia laboratoryjne
z
iizyk!
J.
Emich-Kokot
U =U
I
+U
2
+",+U
n
Q=Ql
=Q2
= ..·=Qn
(17.9)
(17.10)
P·
omewaz z e.
= -
więc mozna zapisac
C
.
dfU
Q.
. ..
U
=~
U
=Q2
I
C'
2
C'
l
2
u
=Qn
n
C
n
i
dalej podstawiając do (17.9)
Q
=~+
Q2
+ ...+
Qn
C CI
C
2
Cn
a orzystając z 17.1 mamy-
=-+-+ ..+-.
o po ie emu stronami przez
C C] C
2
k
. (O)
Q
Q
Q
c,
p
dzi l .
.
Q
otrzymamy:
1 1 1 1
-=-+-+ ..+-
C
CI C
2
c,
07.1I)
Dla połączenia równoległego możemy zapisać
•
•
•
•
~~
U
Rys.
17.2.
Bateria kondensatorów połączonych równolegle
U =U
I
=U
2
=",=U
n
Q=QI +Q2 + ..·+Qn
(17.12)
(17.13)
Ponieważ
Q=UC,
QI=C1U
p
Q2=C
2
U
2,
Qn=CnU
n
to po podstawieniu tych zależności do równania (17.13) otrzymamy
CU
=
C]
U, +C
2U
2
+ ... +CnU
n,
a po podzieleniu stronami przez
U
mamy
C
=
CI
+C
2
+...+
C
n
(17.14)
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
lIS
Q
•
•
POMIAR POJEMNOŚCI KONDENSA TORA ...
Ogólnie można zapisać
n
C="C
~
l
(17.15)
i=1
17.2. Opis ćwiczenia
Do wyznaczenia pojemności mierzonego kondensatora użyjemy układu przedsta-
wionego na rys.17.3, który wykorzystuje zasadę działania tzw. mostka Wheatstone'a.
Do wyznaczania szukanej wartości w układzie rozgałęzionym wykorzystuje się zależno-
ści znane pod nazwą I i II prawo Kirchhotfa.
Najkrócej można zapisać że:
I - Suma algebraiczna prądów schodzących się w węźle jest równa zeru.
IJ\
LII:
=0
(17.16)
k=l
n-
Dla obwodu zamkniętego (tzw. oczko) suma algebraiczna spadków napięć
i
sił elek-
tromotorycznych źródeł znajdujących się w tym obwodzie jest równa zeru.
IJ\
n
LR"A
+
LEi
=
O
k=l
(17.17)
i=l
E
A
B
G
Rys.
17.3.
Schemat połączenia układu
Zasada pomiaru polega na zrównoważeniu mostka, czyli doprowadzeniu do sytu-
acji, w której pomiędzy punktami D i E nie ma różnicy potencjałów, a więc w słuchaw-
kach (S) nie płynie prąd. Jeżeli natężenie prądu płynącego w gałęzi ADB oznaczymy 11 ;
a w gałęzi AEB - /z, to zgodnie z II prawem Kirchhoffa można zapisać
RJ2 =R
2
I,
oraz
R
cJ2
=R/
1
(17.18)
dzieląc równania stronami otrzymamy
Re _ R
2
Rex
s,
Ponieważ w omawianym układzie opory
R.
i
R
2
są tej samej wartości
(R,
=
R
2),
więc
można zapisać, że
(17.19)
116
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
r
J.
Emich-Kokot
Wiedząc, że
Rex
= ---
i
Re
= --,
otrzymamy (17.20)
2ifC
x
1
l
2ifC
Cx=C
(17.20)
17.2. Wykonanie ćwiczenia:
1. Połączyć układ wg schematu (rys. 17.3).
2. Dobierając wartości pojemności C kondensatora dekadowego doprowadzić do zrów-
noważenia mostka. Wówczas wartość pojemności mierzonego kondensatora
C,
jest
równa wartości pojemności kondensatora dekadowego C.
Pomiary wykonać pięciokrotnie dla pojedynczych kondensatorów o nieznanej po-
jemności. Wyznaczyć wartość średnią C
xir,
a następnie obliczyć niepewność stan-
dardową u(C
xi,)
z zależności 1.5. Wykonać pomiary dla kilku kondensatorów
ex
po-
łączonych szeregowo, a następnie dla połączonych równolegle.
TABELA POMIARÓW
Nr
Pomiar Pomiar Pomiar Pomiar Pomiar Wartość
kondensatora
l
2
3
4
5
średnia C
C [nF] C[ nF] CrnFl
C [nF] C[nF]
[nF ]
CI
C
2
C
3
C
4
C
5
Poł.
szeregowe
C
,.
iC
-,
Poł.
równoległe
C
-,-
iC
,.-
3. Stosując omówione we wstępie zasady liczenia pojemności zastępczej dla połączeń
szeregowych i równoległych, wyliczyć te wartości dla użytych kondensatorów, ko-
rzystając z wyznaczonych wcześniej wartości średnich pojedynczych kondensatorów
C
xś"
4. Dla połączeń szeregowych i równoległych policzyć niepewność złożoną korzystając
z zal.l .16 ( znaj ąc niepewności standardowe C
xi,).
Porównać wartości uzyskane przy pomiarze pojemności zastępczej dla kondensato-
rów połączonych z wielkościami uzyskanymi z obliczenia tych pojemności przy za-
stosowaniu matematycznych zasad wyznaczania pojemności kondensatorów połą-
czonych.
LITERATURA
[1] SZYDŁOWSKI H.: Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.
[2] REW AJ T.: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki w politechnice, PWN, Warszawa
1978.
[3] SZCZENIOWSKI S.: Fizyka doświadczalna, tom III, PWN, Warszawa 1980.
Ćwiczenia laboratoryjne
z
fizyki
117