Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Zadanie 1
Siedmiu wyborców (1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) musi wybrać jedną spośród pięciu alternatyw (A, B, C, D i E). Preferencje wyborców są spójne i przechodnie i wyglądają następująco:
1: A ≻1 B ≻1 C ≻1 D ≻1 E
2: E ≻2 B ≻2 A ≻2 D ≻2 C
3: C ≻3 E ≻3 A ≻3 D ≻3 B
4: A ≻4 E ≻4 D ≻4 B ≻4 C
5: D ≻5 B ≻5 C ≻5 E ≻5 A
6: B ≻6 A ≻6 E ≻6 D ≻6 C
7: E ≻7 A ≻7 B ≻7 D ≻7 C
Rozwiązanie
a) Proszę wyznaczyć zwycięzcę w sensie Condorceta i przegrywającego w sensie Condorceta dla powyższych preferencji indywidualnych.
Zwycięzca w sensie Condorceta to taka alternatywa, która w porównaniu parami wygrywa większością głosów z każdą inną alternatywą (czyli dla każdej innej alternatywy istnieje pewna większość wyborców która woli od niej zwycięzcę w sensie Condorceta). Podobnie przegrywający w sensie Condorceta to taka alternatywa, która w porównaniu parami przegrywa większością głosów z każdą inną alternatywą.
Porównajmy zatem parami wszystkie alternatywy:
4 wyborców (1, 3, 4 i 7) woli A od B;
5 wyborców (1, 2, 4, 6 i 7) woli A od C;
6 wyborców (1, 2, 3, 4, 6 i 7) woli A od D;
4 wyborców (2, 3, 5 i 7) woli E od A;
6 wyborców (1, 2, 4, 5, 6 i 7) woli B od C;
4 wyborców (1, 2, 6 i 7) woli B od D;
4 wyborców (2, 3, 4 i 7) woli E od B;
5 wyborców (2, 4, 5, 6 i 7) woli D od C;
4 wyborców (2, 4, 6 i 7) woli E od C;
5 wyborców (2, 3, 4, 6 i 7) woli E od D.
W grze bierze udział siedmiu wyborców, więc większość wynosi 4 głosy.
Jak widać, dla każdej alternatywy istnieje pewna większość, która woli E od tej alternatywy (4 wyborców woli E od A, 4 wyborców woli E od B, 4 wyborców woli E od C i 5 wyborców woli E od D) – zatem E jest zwycięzcą w sensie Condorceta.
Podobnie dla każdej alternatywy istnieje pewna większość, która woli ją od C (5 wyborców woli A od C, 6 wyborców woli B od C, 5 wyborców woli D od C i 4 wyborców woli E od C), a zatem C jest przegrywającym w sensie Condorceta.
b) Proszę wyznaczyć zwycięzcę wyborów, jeśli wybory odbywają się metodą Bordy.
Jeśli wybory odbywają się metodą Bordy każdy wyborca przyznaje 1 punkt alternatywie, która znajduje się najniżej w jego preferencjach i po jednym punkcie więcej każdej kolejnej. W naszym przykładzie poszczególne alternatywy uzyskają zatem następujące liczby punktów:
Wyborca
A
B
C
D
E
1
5
4
3
2
1
2
3
4
1
2
5
3
3
1
5
2
4
4
5
2
1
3
4
5
1
4
3
5
2
6
4
5
1
2
3
7
4
3
1
2
5
Suma
25
23
15
18
24
Najwięcej punktów uzyskała alternatywa A, a zatem A wygrałaby gdyby wybory odbywały się metodą Bordy.
c) Proszę wyznaczyć zwycięzcę wyborów, jeśli wyborcy 1, 2, 3 i 6 akceptują swoje dwie pierwsze alternatywy, wyborcy 4, 5 i 7 akceptują swoje trzy pierwsze alternatywy, a wybory odbywają się metodą przez akceptację.
W metodzie przez akceptację każda alternatywa akceptowana przez danego wyborcę otrzymuje 1 punkt i wygrywa alternatywa, która uzyskała najwięcej punktów. Skoro wyborcy 1, 2, 3 i 6 akceptują swoje dwie pierwsze alternatywy, wyborcy 4, 5 i 7 akceptują swoje trzy pierwsze alternatywy, kolejne alternatywy uzyskają następującą liczbę punktów:
Wyborca
A
B
C
D
E
1
1