Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy
ruchem okre-
sowym
(periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić
za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob-
serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1 Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy
siłą harmoniczną
lub
siłą sprężystości
. Jeżeli obierzemy oś
x
wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest
wyrażona równaniem
F
= –
k
x
(13.1)
gdzie
x
jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera-
ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę
sprężystości. To jest
prawo Hooke'a
.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa
m
(zaczepiona do sprężyny) zna-
lazła się w położeniu
x
=
A
, a następnie w chwili
t
= 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x
=
A
cosω
t
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla
t
= 0,
x
=
A
tzn. opis zgadza się z założe-
niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
– kx
=
ma
czyli
– kx = m
(d
v
/d
t
)
wreszcie
–
kx
=
m
(d
2
x
/d
t
2
)
(13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się
"odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
że rozwiązaniem jest funkcja
x
(
t
), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że
może
to być funkcja
x
=
A
cosω
t
i sprawdzamy
d
x
/d
t
=
v
= –
A
ωsinω
t
(13.3)
d
2
x
/d
t
2
=
a
= –
A
ω
2
cosω
t
(13.4)
13-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(–
kA
cosω
t
) =
m
(–
A
ω
2
cosω
t
)
i otrzymujemy
ω
2
=
k
/
m
(13.5)
ω .
Zwróćmy uwagę, że funkcja
x
=
A
sinω
t
jest również rozwiązaniem równania ale nie
spełnia warunku początkowego bo gdy
t
= 0 to
x
= 0 (zamiast
x = A
).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
k
/
m
x
=
A
sin(ω
t
+ ϕ)
(13.6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe
A
i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne
(amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
• dla wychylenia
A
• dla prędkości ω
A
(
występuje gdy x = 0
)
• dla przyspieszenia ω
2
A
(
występuje gdy x = A
)
13.2 Okres drgań
Funkcja cosω
t
lub sinω
t
powtarza się po czasie
T
dla którego ω
T
= 2π. Ta szczegól-
na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres
T
T = 2π/ω
(13.7)
Liczba drgań w czasie t jest równa
n
=
t
/
T
Gdy podzielimy obie strony przez
t
, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n
=
T
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań
f
f
=
T
Dla ruchu harmonicznego ω= k/ więc otrzymujemy
T
2
m
(13.8)
k
13-2
Widzimy, że
x
=
A
cosω
t
jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
t
=
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to okres drgań masy
m
przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości
k
.
Przykład 1
Dwie masy,
m
1
i
m
2
, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie
okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocze-
śnie? Stała sprężyny wynosi
k
.
Niech
x
1
będzie przesunięciem masy
m
1
od położenia równowagi, a
x
2
odpowiednim
przesunięciem masy
m
2
. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m
1
x
1
= –
m
2
x
2
, czyli
x
−
=
m
2
x
1
m
2
1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np.
m
2
równanie
F
wypadkowa
= ma
. Siłą wypadkową,
działającą na
m
2
jest siła
F = – k
(
x
2
–
x
1
) gdzie (
x
2
–
x
1
) jest wypadkowym rozciągnię-
ciem sprężyny.
d
2
x
−
k
(
x
−
x
)
=
m
2
2
1
2
d
t
2
m
Podstawiamy teraz
x
−
=
2
x
zamiast
x
1
i otrzymujemy
1
m
2
1
−
m
d
2
x
−
k
x
−
2
x
=
m
2
2
m
2
2
d
t
2
1
czyli
d
2
x
k
(
m
+
m
)
2
=
−
1
2
x
d
t
2
m
m
2
1
2
więc
d
2
x
k
2
=
−
x
d
t
2
µ
2
gdzie µ =
m
1
m
2
/(
m
1
+
m
2
) jest z definicji
masą zredukowaną
. To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast
x
jest
x
2
a zamiast
m
jest µ.
Tak więc
= czyli
µ
T
=
2
µ
k
Zwróćmy uwagę, że
okres drgań harmonicznych
T
jest niezależny od amplitudy drgań
A
(o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych za-
uważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
13-3
ω /
k
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3 Wahadła
13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za-
czyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch
okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.
θ
N
l
m
x=l
θ
θ
mgsin
θ
mgcos
θ
mg
Rysunek przedstawia wahadło o długości
l
i masie
m
, odchylone o kąt θ od pionu.
Na masę
m
działają: siła przyciągania grawitacyjnego
mg
i naprężenia nici
N
. Siłę
mg
rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą
równowagę układu i sprowadza masę
m
do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mg
sinθ
Podkreślmy, że siła jest
proporcjonalna do sin
θ
, a nie do
θ
, więc nie jest to ruch prosty
harmoniczny
. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski
θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta)
wynosi
x
=
l
θ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy
F
= θ
mg
=
−
mg
x
=
−
mg
x
l
l
F
jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru-
chu harmonicznego. Stała
mg
/
l
określa stałą
k
w równaniu
F
= –
kx
. Przy małej ampli-
tudzie okres wahadła prostego wynosi więc
T
=
2 =
π 2
m
π
l
(13.9)
k
g
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13-4
−
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze-
chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
P
l
S
θ
mg
P
jest punktem zawieszenia ciała, a punkt
S
, znajdujący się w odległości
l
od punkt
P
,
jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi
τ
= – mgl
sinθ
Korzystając ze związku
τ
= I
α
=I
(d
2
θ
/d
t
2
)
otrzymujemy
d
2
θ
−
mgl
sin
θ=
I
d
t
2
Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie
d
2
θ
−
mgl
=
θ
d
t
2
I
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
ω
mgl
I
lub
T
2
=
I
(13.10)
mgl
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości
l
.
Wówczas
I = ml
2
i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
13-5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy
ruchem okre-
sowym
(periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić
za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob-
serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1 Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy
siłą harmoniczną
lub
siłą sprężystości
. Jeżeli obierzemy oś
x
wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest
wyrażona równaniem
F
= –
k
x
(13.1)
gdzie
x
jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera-
ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę
sprężystości. To jest
prawo Hooke'a
.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa
m
(zaczepiona do sprężyny) zna-
lazła się w położeniu
x
=
A
, a następnie w chwili
t
= 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x
=
A
cosω
t
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla
t
= 0,
x
=
A
tzn. opis zgadza się z założe-
niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
– kx
=
ma
czyli
– kx = m
(d
v
/d
t
)
wreszcie
–
kx
=
m
(d
2
x
/d
t
2
)
(13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się
"odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
że rozwiązaniem jest funkcja
x
(
t
), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że
może
to być funkcja
x
=
A
cosω
t
i sprawdzamy
d
x
/d
t
=
v
= –
A
ωsinω
t
(13.3)
d
2
x
/d
t
2
=
a
= –
A
ω
2
cosω
t
(13.4)
13-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(–
kA
cosω
t
) =
m
(–
A
ω
2
cosω
t
)
i otrzymujemy
ω
2
=
k
/
m
(13.5)
ω .
Zwróćmy uwagę, że funkcja
x
=
A
sinω
t
jest również rozwiązaniem równania ale nie
spełnia warunku początkowego bo gdy
t
= 0 to
x
= 0 (zamiast
x = A
).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
k
/
m
x
=
A
sin(ω
t
+ ϕ)
(13.6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe
A
i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne
(amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
• dla wychylenia
A
• dla prędkości ω
A
(
występuje gdy x = 0
)
• dla przyspieszenia ω
2
A
(
występuje gdy x = A
)
13.2 Okres drgań
Funkcja cosω
t
lub sinω
t
powtarza się po czasie
T
dla którego ω
T
= 2π. Ta szczegól-
na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres
T
T = 2π/ω
(13.7)
Liczba drgań w czasie t jest równa
n
=
t
/
T
Gdy podzielimy obie strony przez
t
, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n
=
T
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań
f
f
=
T
Dla ruchu harmonicznego ω= k/ więc otrzymujemy
T
2
m
(13.8)
k
13-2
Widzimy, że
x
=
A
cosω
t
jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
t
=
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to okres drgań masy
m
przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości
k
.
Przykład 1
Dwie masy,
m
1
i
m
2
, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie
okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocze-
śnie? Stała sprężyny wynosi
k
.
Niech
x
1
będzie przesunięciem masy
m
1
od położenia równowagi, a
x
2
odpowiednim
przesunięciem masy
m
2
. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m
1
x
1
= –
m
2
x
2
, czyli
x
−
=
m
2
x
1
m
2
1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np.
m
2
równanie
F
wypadkowa
= ma
. Siłą wypadkową,
działającą na
m
2
jest siła
F = – k
(
x
2
–
x
1
) gdzie (
x
2
–
x
1
) jest wypadkowym rozciągnię-
ciem sprężyny.
d
2
x
−
k
(
x
−
x
)
=
m
2
2
1
2
d
t
2
m
Podstawiamy teraz
x
−
=
2
x
zamiast
x
1
i otrzymujemy
1
m
2
1
−
m
d
2
x
−
k
x
−
2
x
=
m
2
2
m
2
2
d
t
2
1
czyli
d
2
x
k
(
m
+
m
)
2
=
−
1
2
x
d
t
2
m
m
2
1
2
więc
d
2
x
k
2
=
−
x
d
t
2
µ
2
gdzie µ =
m
1
m
2
/(
m
1
+
m
2
) jest z definicji
masą zredukowaną
. To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast
x
jest
x
2
a zamiast
m
jest µ.
Tak więc
= czyli
µ
T
=
2
µ
k
Zwróćmy uwagę, że
okres drgań harmonicznych
T
jest niezależny od amplitudy drgań
A
(o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych za-
uważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
13-3
ω /
k
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3 Wahadła
13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za-
czyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch
okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.
θ
N
l
m
x=l
θ
θ
mgsin
θ
mgcos
θ
mg
Rysunek przedstawia wahadło o długości
l
i masie
m
, odchylone o kąt θ od pionu.
Na masę
m
działają: siła przyciągania grawitacyjnego
mg
i naprężenia nici
N
. Siłę
mg
rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą
równowagę układu i sprowadza masę
m
do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mg
sinθ
Podkreślmy, że siła jest
proporcjonalna do sin
θ
, a nie do
θ
, więc nie jest to ruch prosty
harmoniczny
. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski
θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta)
wynosi
x
=
l
θ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy
F
= θ
mg
=
−
mg
x
=
−
mg
x
l
l
F
jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru-
chu harmonicznego. Stała
mg
/
l
określa stałą
k
w równaniu
F
= –
kx
. Przy małej ampli-
tudzie okres wahadła prostego wynosi więc
T
=
2 =
π 2
m
π
l
(13.9)
k
g
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13-4
−
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze-
chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
P
l
S
θ
mg
P
jest punktem zawieszenia ciała, a punkt
S
, znajdujący się w odległości
l
od punkt
P
,
jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi
τ
= – mgl
sinθ
Korzystając ze związku
τ
= I
α
=I
(d
2
θ
/d
t
2
)
otrzymujemy
d
2
θ
−
mgl
sin
θ=
I
d
t
2
Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie
d
2
θ
−
mgl
=
θ
d
t
2
I
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
ω
mgl
I
lub
T
2
=
I
(13.10)
mgl
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości
l
.
Wówczas
I = ml
2
i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
13-5