Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
WYZNACZANIE LINII UGI
Ę
CIA W BELKACH
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Dotychczas analizowano przypadki statycznie wyznaczalne – tzn. liczba
niewiadomych odpowiadała liczbie równań. W takim przypadku oprócz
równa
ń
statyki
naleŜy wykorzystać warunki wynikające z
odkształce
ń
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych określa się metodą
Clebscha
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych metodą
superpozycji
z wykorzystaniem tablic
wytrzymałościowych.
Przykład.
Belka statycznie niewyznaczalna obciąŜona jest jak na rysunku. Oblicz
reakcje podpór. Wykonać wykresy siły tnącej i momentu gnącego.
Dane:
E=2.1*10
5
MPa,
I=1.3*10
-8
m
4
, M
=1
kNm, q
=1
kN/m,
a=1
m
q
M
B
C
A
a
a
1
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
Równania równowagi
1.
∑
P
=
R
+
R
+
R
-
qa
=
0
iy
A
B
C
2
a
∑
M
=
-
R
a
-
2
R
a
+
q
-
M
=
0
2.
iA
B
C
2
Warunki brzegowe
WB1.
gdy
x
=
0
⇒
y
=
0
gdy
x
=
a
⇒
y
=
0
WB2.
gdy
x
=
2
a
⇒
y
=
0
WB3.
2
Metoda sił i momentów określona w poszczególnych przedziałach
( )
EJ
2
d
y
Mg
x
=
2
równanie osi ugi
ę
tej
dx
NaleŜy dodać i odjąć obciąŜenie ciągłe tak aby była zgodność w przedziałach.
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
Równanie momentu gnącego
Dla
0
£
x
£
a
2
x
( )
Mg
x
=
R
x
-
q
A
2
Dla
a
£
x
£
2
a
2
2
x
(
x
-
a
)
( )
Mg
x
=
R
x
-
q
-
M
+
R
(
x
-
a
)
+
q
A
B
2
2
Metoda Clebscha
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
2
2
x
(
x
-
a
)
( )
0
Mg
x
=
R
x
-
q
-
M
(
x
-
a
)
+
R
(
x
-
a
)
+
q
3.
A
B
2
2
1
2
2
3
2
3
dy
x
x
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
EJ
=
C
+
R
-
q
-
M
(
x
-
a
)
+
R
+
q
4.
A
B
dx
2
6
2
6
1
2
3
3
4
2
3
4
x
x
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
EJy
=
D
+
Cx
+
R
-
q
-
M
+
R
+
q
5.
A
B
6
24
2
6
24
1
2
Z
WB1
i
R5
otrzymamy
3
4
0
0
0
=
D
+
C
0
+
R
-
q
⇒
D
=
0
A
6
24
1
Z
WB2
i
R5
otrzymamy
3
4
3
2
a
a
a
a
0
=
D
+
Ca
+
R
-
q
⇒
C
=
q
-
R
A
A
6
24
24
6
1
Z
WB3
i
R5
otrzymamy
R6
3
2
3
4
2
3
4
a
a
8
a
16
a
a
a
a
0
=
q
-
R
2
a
+
R
-
q
-
M
+
R
+
q
A
A
B
24
6
6
24
2
6
24
2
1
4
3
3
4
2
3
4
2
24
a
2
6
a
8
a
16
24
a
a
a
q
a
0
=
q
-
R
+
R
-
q
+
M
+
R
+
A
A
B
6
2
6
24
1
2
1
6
13
24
2
6.
0
=
M
+
R a
+
R a
-
qa
A
B
Z
R1
,
R2
i
R6
otrzymamy
R
A
kN
= -
0 063
.
kN
R
B
=
0 625
.
R
C
=
0437 kN
4
Metoda superpozycji
q
M
B
C
A
R
B
a
a
Ugięcie belki w punkcie
B
wynosi
y
B
=0
.
P
rzemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym punkcie od sił
q
,
M
, i
R
B
co zapisujemy następująco:
y
=
y
+
y
+
y
B
B
M
B
R
B
q
B
Przyjmujemy siłę (reakcję) hiperstatyczną przyłoŜoną w miejscu podpory
B.
B
C
R
B
A
a
a
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 4
3
2
Pl
3
x
y
=
-
wykorzystując tę zaleŜność
x
=
l
/
2
2
24
EI
4
l
gdzie:
P
=
R
,
l
=
2
a
,
x
=
l
ze znakiem „-„ ze względu na kierunek obciązenia
B
3
2
3
R
8
a
3
a
R
a
y
=
-
B
-
=
-
B
x
=
a
2
24
EI
4
4
a
6
EI
5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Ę
CIA W BELKACH
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Dotychczas analizowano przypadki statycznie wyznaczalne – tzn. liczba
niewiadomych odpowiadała liczbie równań. W takim przypadku oprócz
równa
ń
statyki
naleŜy wykorzystać warunki wynikające z
odkształce
ń
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych określa się metodą
Clebscha
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych metodą
superpozycji
z wykorzystaniem tablic
wytrzymałościowych.
Przykład.
Belka statycznie niewyznaczalna obciąŜona jest jak na rysunku. Oblicz
reakcje podpór. Wykonać wykresy siły tnącej i momentu gnącego.
Dane:
E=2.1*10
5
MPa,
I=1.3*10
-8
m
4
, M
=1
kNm, q
=1
kN/m,
a=1
m
q
M
B
C
A
a
a
1
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
Równania równowagi
1.
∑
P
=
R
+
R
+
R
-
qa
=
0
iy
A
B
C
2
a
∑
M
=
-
R
a
-
2
R
a
+
q
-
M
=
0
2.
iA
B
C
2
Warunki brzegowe
WB1.
gdy
x
=
0
⇒
y
=
0
gdy
x
=
a
⇒
y
=
0
WB2.
gdy
x
=
2
a
⇒
y
=
0
WB3.
2
Metoda sił i momentów określona w poszczególnych przedziałach
( )
EJ
2
d
y
Mg
x
=
2
równanie osi ugi
ę
tej
dx
NaleŜy dodać i odjąć obciąŜenie ciągłe tak aby była zgodność w przedziałach.
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
Równanie momentu gnącego
Dla
0
£
x
£
a
2
x
( )
Mg
x
=
R
x
-
q
A
2
Dla
a
£
x
£
2
a
2
2
x
(
x
-
a
)
( )
Mg
x
=
R
x
-
q
-
M
+
R
(
x
-
a
)
+
q
A
B
2
2
Metoda Clebscha
q
M
B
C
A
R
C
R
A
R
B
a
a
2
2
x
(
x
-
a
)
( )
0
Mg
x
=
R
x
-
q
-
M
(
x
-
a
)
+
R
(
x
-
a
)
+
q
3.
A
B
2
2
1
2
2
3
2
3
dy
x
x
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
EJ
=
C
+
R
-
q
-
M
(
x
-
a
)
+
R
+
q
4.
A
B
dx
2
6
2
6
1
2
3
3
4
2
3
4
x
x
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
EJy
=
D
+
Cx
+
R
-
q
-
M
+
R
+
q
5.
A
B
6
24
2
6
24
1
2
Z
WB1
i
R5
otrzymamy
3
4
0
0
0
=
D
+
C
0
+
R
-
q
⇒
D
=
0
A
6
24
1
Z
WB2
i
R5
otrzymamy
3
4
3
2
a
a
a
a
0
=
D
+
Ca
+
R
-
q
⇒
C
=
q
-
R
A
A
6
24
24
6
1
Z
WB3
i
R5
otrzymamy
R6
3
2
3
4
2
3
4
a
a
8
a
16
a
a
a
a
0
=
q
-
R
2
a
+
R
-
q
-
M
+
R
+
q
A
A
B
24
6
6
24
2
6
24
2
1
4
3
3
4
2
3
4
2
24
a
2
6
a
8
a
16
24
a
a
a
q
a
0
=
q
-
R
+
R
-
q
+
M
+
R
+
A
A
B
6
2
6
24
1
2
1
6
13
24
2
6.
0
=
M
+
R a
+
R a
-
qa
A
B
Z
R1
,
R2
i
R6
otrzymamy
R
A
kN
= -
0 063
.
kN
R
B
=
0 625
.
R
C
=
0437 kN
4
Metoda superpozycji
q
M
B
C
A
R
B
a
a
Ugięcie belki w punkcie
B
wynosi
y
B
=0
.
P
rzemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym punkcie od sił
q
,
M
, i
R
B
co zapisujemy następująco:
y
=
y
+
y
+
y
B
B
M
B
R
B
q
B
Przyjmujemy siłę (reakcję) hiperstatyczną przyłoŜoną w miejscu podpory
B.
B
C
R
B
A
a
a
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 4
3
2
Pl
3
x
y
=
-
wykorzystując tę zaleŜność
x
=
l
/
2
2
24
EI
4
l
gdzie:
P
=
R
,
l
=
2
a
,
x
=
l
ze znakiem „-„ ze względu na kierunek obciązenia
B
3
2
3
R
8
a
3
a
R
a
y
=
-
B
-
=
-
B
x
=
a
2
24
EI
4
4
a
6
EI
5