Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
1
12.
12. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między
powierzchniami ograniczającymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny
środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie
wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Cienkie czyli takie których jeden wymiar (wysokość, grubość)
jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych:
-
h
1
10
wymiaru krótszego boku
-
h
1
5
średnicy (dla płyt okrągłych).
Cienkie płyty spełniają hipotezy Kirchhoffa:
- płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,
- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po
odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej),
Rys. 12.1
- naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są małe w porównaniu z pozostałymi
naprężeniami.
33
=
z
≪
x
,
y
(12.1)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
2
Rys. 12.2
Decydujące są przemieszczenia pionowe (prostopadłe do płaszczyzny środkowej) i nimi się
zajmiemy. Przyjmijmy założenie
33
=
z
0
i przedstawmy
u
1,
u
2,
u
3
za pomocą jednej zmiennej
w
.
u
1
=
u
=−
u
3
1
=−
z
1
=−
z
dw
dx
(12.2)
Analogicznie po kierunku osi y (prostopadle do kartki):
u
2
=
v
=−
z
2
=−
z
dw
dy
(12.3)
u
3
=
w
(12.4)
Szukamy przemieszczenia
w
. Jest ono na funkcję ugięcia płyty w=w(x,y). Odkształcenia
11
=
x
=−
z
∂
2
w
∂
x
2
(12.5)
∂
y
=−
z
∂
2
w
∂
y
2
(12.6)
12
=
xy
=
1
∂
y
∂
r
∂
x
(12.7)
13
=
xz
=
1
∂
x
∂
u
∂
z
(12.8)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
22
=
y
=
∂
v
2
∂
u
2
∂
w
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
3
u
=−
z
dw
dx
;
∂
u
∂
z
=−
∂
w
∂
x
(12.9)
13
=
xz
=
1
∂
x
−
∂
w
∂
x
=0
(12.10)
Analogicznie:
23
=
yz
=0
(12.11)
33
=
z
=
∂
w
∂
z
(12.12)
Ugięcie nie jest funkcją
z
ponieważ po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczają się tak samo.
w
≠
f
z
w
=
w
x , z
zatem:
∂
w
∂
z
=0
(12.13)
więc:
z
=0
(12.14)
Jest to płaski stan naprężeń w związku z tym obowiązują następujące związki fizyczne:
E
x
−
y
(12.15)
E
y
−
x
(12.16)
xy
=
1
E
xy
(12.17)
Po wprowadzeniu wzorów (12.5),(12.6) i (12.7):
1−
2
x
y
=
−
Ez
1−
2
∂
2
w
∂
x
2
∂
2
w
∂
y
2
(12.18)
1−
2
y
x
=
−
Ez
1−
2
∂
2
w
∂
y
2
∂
2
w
∂
x
2
(12.19)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2
∂
w
x
=
1
y
=
1
x
=
E
y
=
E
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
4
xy
=
E
1−
2
xy
=
−
Ez
1
∂
2
w
∂
x
∂
y
(12.20)
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych). Równania równowagi:
∂
x
∂
xy
∂
y
∂
xz
∂
z
=0
(12.21)
Równanie to nie jest spełnione. W związku z tym:
∂
xz
∂
z
≠0
(12.22)
Po podstawieniu
σ
i
τ
do równania równowagi otrzymujemy:
∂
z
=
Ez
∂
3
w
∂
x
3
∂
3
w
Ez
∂
3
w
∂
x
∂
y
2
(12.23)
1−
2
∂
x
∂
y
2
1
Analogicznie:
∂
x
∂
y
∂
y
∂
zy
∂
z
=0
(12.24)
∂
z
=
Ez
∂
3
w
∂
y
3
∂
3
w
Ez
∂
3
w
∂
x
2
∂
y
(12.25)
1−
2
∂
y
∂
x
2
1
∂
xz
∂
x
∂
yz
∂
y
∂
z
∂
z
=0
(12.26)
W celu wyznaczenia τ
zx
całkujemy (12.23) po
z
i dodajemy warunki brzegowe:
z
=±
h
2
xz
=0
(12.27)
xz
=
−
E
2
1−
2
h
2
−
z
2
∂
3
w
∂
x
3
∂
3
w
∂
x
∂
y
2
(12.28)
Całkując po
z
równanie (12.25) i wykorzystując warunek brzegowy otrzymujemy równanie na τ
yz :
yz
=
−
E
2
1−
2
h
2
−
z
2
∂
3
w
∂
y
3
∂
3
w
∂
y
∂
x
2
(12.29)
Po podstawieniu τ
zx
oraz τ
yz
do trzeciego równania równowagi, otrzymujemy wyrażenie określające
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
∂
x
∂
xz
∂
xy
∂
yz
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
5
∂
z
∂
z
, następnie całkując obustronnie po
z
i uwzględniając warunki brzegowe:
-
z
=
h
2
z
=0
z
=
−
E
24
1−
2
h
3
−3
h
2
z
4
z
3
∂
4
w
∂
x
4
2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
∂
4
w
∂
y
4
(12.30)
z
=
−
E
24
1−
2
h
3
−3
h
2
z
4
z
3
∧
4
w
(12.31)
-
z
=
−
h
z
z
=−
P
x , y
∇
4
w
x , y
=
∂
4
w
∂
x
4
2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
∂
4
w
∂
y
2
=
P
x , y
D
(12.32)
Gdzie P(x,y) oznacza obciążenie zewnętrzne a D- sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
D
=
Eh
3
12
1−
3
(12.33)
Rozkład naprężeń na grubości płyty:
–
naprężenia istotne ( decydujące),
Rys. 12.3 Naprężenia decydujące
–
naprężenia drugorzędna (tzn dostatecznie małe w porównaniu z naprężeniami podstawowymi σ
x
, σ
y
, τ
xy
i
mogą być pominięte przy obliczeniu odkształceń).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
1
12.
12. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między
powierzchniami ograniczającymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny
środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie
wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Cienkie czyli takie których jeden wymiar (wysokość, grubość)
jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych:
-
h
1
10
wymiaru krótszego boku
-
h
1
5
średnicy (dla płyt okrągłych).
Cienkie płyty spełniają hipotezy Kirchhoffa:
- płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,
- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po
odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej),
Rys. 12.1
- naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są małe w porównaniu z pozostałymi
naprężeniami.
33
=
z
≪
x
,
y
(12.1)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
2
Rys. 12.2
Decydujące są przemieszczenia pionowe (prostopadłe do płaszczyzny środkowej) i nimi się
zajmiemy. Przyjmijmy założenie
33
=
z
0
i przedstawmy
u
1,
u
2,
u
3
za pomocą jednej zmiennej
w
.
u
1
=
u
=−
u
3
1
=−
z
1
=−
z
dw
dx
(12.2)
Analogicznie po kierunku osi y (prostopadle do kartki):
u
2
=
v
=−
z
2
=−
z
dw
dy
(12.3)
u
3
=
w
(12.4)
Szukamy przemieszczenia
w
. Jest ono na funkcję ugięcia płyty w=w(x,y). Odkształcenia
11
=
x
=−
z
∂
2
w
∂
x
2
(12.5)
∂
y
=−
z
∂
2
w
∂
y
2
(12.6)
12
=
xy
=
1
∂
y
∂
r
∂
x
(12.7)
13
=
xz
=
1
∂
x
∂
u
∂
z
(12.8)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
22
=
y
=
∂
v
2
∂
u
2
∂
w
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
3
u
=−
z
dw
dx
;
∂
u
∂
z
=−
∂
w
∂
x
(12.9)
13
=
xz
=
1
∂
x
−
∂
w
∂
x
=0
(12.10)
Analogicznie:
23
=
yz
=0
(12.11)
33
=
z
=
∂
w
∂
z
(12.12)
Ugięcie nie jest funkcją
z
ponieważ po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczają się tak samo.
w
≠
f
z
w
=
w
x , z
zatem:
∂
w
∂
z
=0
(12.13)
więc:
z
=0
(12.14)
Jest to płaski stan naprężeń w związku z tym obowiązują następujące związki fizyczne:
E
x
−
y
(12.15)
E
y
−
x
(12.16)
xy
=
1
E
xy
(12.17)
Po wprowadzeniu wzorów (12.5),(12.6) i (12.7):
1−
2
x
y
=
−
Ez
1−
2
∂
2
w
∂
x
2
∂
2
w
∂
y
2
(12.18)
1−
2
y
x
=
−
Ez
1−
2
∂
2
w
∂
y
2
∂
2
w
∂
x
2
(12.19)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
2
∂
w
x
=
1
y
=
1
x
=
E
y
=
E
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
4
xy
=
E
1−
2
xy
=
−
Ez
1
∂
2
w
∂
x
∂
y
(12.20)
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych). Równania równowagi:
∂
x
∂
xy
∂
y
∂
xz
∂
z
=0
(12.21)
Równanie to nie jest spełnione. W związku z tym:
∂
xz
∂
z
≠0
(12.22)
Po podstawieniu
σ
i
τ
do równania równowagi otrzymujemy:
∂
z
=
Ez
∂
3
w
∂
x
3
∂
3
w
Ez
∂
3
w
∂
x
∂
y
2
(12.23)
1−
2
∂
x
∂
y
2
1
Analogicznie:
∂
x
∂
y
∂
y
∂
zy
∂
z
=0
(12.24)
∂
z
=
Ez
∂
3
w
∂
y
3
∂
3
w
Ez
∂
3
w
∂
x
2
∂
y
(12.25)
1−
2
∂
y
∂
x
2
1
∂
xz
∂
x
∂
yz
∂
y
∂
z
∂
z
=0
(12.26)
W celu wyznaczenia τ
zx
całkujemy (12.23) po
z
i dodajemy warunki brzegowe:
z
=±
h
2
xz
=0
(12.27)
xz
=
−
E
2
1−
2
h
2
−
z
2
∂
3
w
∂
x
3
∂
3
w
∂
x
∂
y
2
(12.28)
Całkując po
z
równanie (12.25) i wykorzystując warunek brzegowy otrzymujemy równanie na τ
yz :
yz
=
−
E
2
1−
2
h
2
−
z
2
∂
3
w
∂
y
3
∂
3
w
∂
y
∂
x
2
(12.29)
Po podstawieniu τ
zx
oraz τ
yz
do trzeciego równania równowagi, otrzymujemy wyrażenie określające
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
∂
x
∂
xz
∂
xy
∂
yz
12. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
5
∂
z
∂
z
, następnie całkując obustronnie po
z
i uwzględniając warunki brzegowe:
-
z
=
h
2
z
=0
z
=
−
E
24
1−
2
h
3
−3
h
2
z
4
z
3
∂
4
w
∂
x
4
2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
∂
4
w
∂
y
4
(12.30)
z
=
−
E
24
1−
2
h
3
−3
h
2
z
4
z
3
∧
4
w
(12.31)
-
z
=
−
h
z
z
=−
P
x , y
∇
4
w
x , y
=
∂
4
w
∂
x
4
2
∂
4
w
∂
x
2
∂
y
2
∂
4
w
∂
y
2
=
P
x , y
D
(12.32)
Gdzie P(x,y) oznacza obciążenie zewnętrzne a D- sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
D
=
Eh
3
12
1−
3
(12.33)
Rozkład naprężeń na grubości płyty:
–
naprężenia istotne ( decydujące),
Rys. 12.3 Naprężenia decydujące
–
naprężenia drugorzędna (tzn dostatecznie małe w porównaniu z naprężeniami podstawowymi σ
x
, σ
y
, τ
xy
i
mogą być pominięte przy obliczeniu odkształceń).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater