Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 18
18. Siła elektrostatyczna
18.1 Wstęp
Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyja-
śnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie ato-
mów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta meta-
lowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 10
25
razy większa
niż miedzi.
18.2 Ładunek elektryczny
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru
F
= 3.61·10
-47
N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie
F
= 2.27·10
-8
N.
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i
elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja ładunku
Ładunek elementarny
e
= 1.6·10
-19
C.
Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
18.2.2 Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin.
Wypadkowy ładunek w układzie zamknię-
tym jest stały.
18.3 Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch ładunków
q
1
i
q
2
F
=
k
q
1
r
q
2
(18.1)
2
gdzie stała
k
=
4
1
πε
. Współczynnik ε
0
= 8.854·10
-12
C
2
/(Nm
2
) nosi
nazwę
przenikalno-
0
ści elektrycznej próżni
.
W układzie cgs
k
= 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Siłę wypadkową
(tak jak w grawitacji)
obliczamy dodając wektorowo siły dwuciało-
we
.
Przykład 1
18-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie
l
. Jaka siła
jest wywierana na ładunek
q
umieszczony tak jak na rysunku?
+Q
l
-Q
r
r
F
2
q
F
F
1
Z podobieństwa trójkątów
F
=
1
l
F
r
Stąd
F
=
l
F
=
l
k
Qq
=
qk
Ql
=
qk
p
r
1
r
r
2
r
3
r
3
gdzie
p = Ql
jest
momentem dipolowym
.
18.4 Pole elektryczne
W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę
m
umieszczoną w tym punkcie
przestrzeni podzieloną przez tę masę.
Analogicznie
definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek
.
Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego
E
w dowolnym punkcie
P
, należy w tym
punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną
F
działającą
na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych
ładunków. Wtedy
E
=
F
(18.2)
q
Ładunek próbny jest
dodatni
(umowa). Kierunek
E
jest taki sam jak
F
(na ładunek do-
datni).
Przykład 2
Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie
P
nie ma "jakiegoś" ładunku tylko
tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy
E
kq
p
r
3
p
E
=
=
k
q
r
3
18-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Pole
E
w punkcie
P
jest skierowane w prawo.
+Q
l
-Q
r
r
F
2
P
F
Pole
E
w odległości
r
od ładunku punktowego
Q
jest równe
F
1
E
=
F
1
=
1
k
Qq
r
ˆ
=
k
Q
r
q
q
r
2
r
2
Pole elektryczne od
n
ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
∑
=
n
Q
E
=
k
i
r
ˆ
r
2
i
i
1
i
Przykład 3
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu
R
wynosi
Q
. Jakie jest
pole elektryczne na osi pierścienia w odległości
x
0
od środka?
r
P
dE
x
R
α
x
0
dE
Pole wytwarzane przez element d
l
pierścienia jest równe
d
E
x
= d
E
(cosα)
cosα =
x
0
/
r
Jeżeli λ =
Q
/2π
R
jest liniową gęstością ładunku to
d
E
λ
=
k
d
l
r
2
oraz
d
E
x
=
k
λ
d
l
x
0
r
2
r
18-3
ˆ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
E
=
E
=
k
λ
x
0
∫
d
l
=
k
λ
x
0
(
2
π
R
)
=
kx
0
Q
x
r
3
r
3
3
(
x
2
0
+
R
2
)
2
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (
x
0
= 0)
E
= 0, a dla
x
0
>>
R
pole
E
→
kQ
/
x
0
2
i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy
zajmować się szczegółami źródła pola. Np. pole
E = kQ
/
r
2
może pochodzić od wielu
źródeł.
18.4.1 Linie sił
Kierunek pola
E
w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw.
linii sił
. Linie nie
tylko pokazują kierunek
E
ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).
Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię ∆
S
oznaczymy ∆φ to wówczas
∆φ =
E
∆
S
=
E
∆
S
cosα
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ∆
S
i wektorem
E
.
W ogólności więc
dφ = d
E
d
s
(18.3)
i jest to definicja
strumienia elektrycznego
.
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
φ
=
∑
∆
E
S
powierzchn
ia
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
φ
=
∫
E
d
S
(18.4)
S
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości
r
od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku
Q
i liczymy strumień (liczbę
linii przez powierzchnię).
φ
=
E
(
4
π
r
2
)
=
k
Q
(
4
π
r
2
)
=
4
π
kQ
=
Q
(18.5)
r
2
ε
0
Otrzymany strumień nie zależy od
r
, a zatem strumień jest
jednakowy
dla
wszystkich
r
.
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa
Q
/ε
0
i linie te ciągną się do
nieskończoności.
18-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie
od
r
więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która ota-
cza ładunek
Q
).
Taka powierzchnia nazywa się
powierzchnią Gaussa
.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki
Q
1
i
Q
2
. Całkowita liczba linii
sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków
Q
1
i
Q
2
jest równa
c
φ
µ
k
=
∫ ∫
d
S
=
(
E
1
+
E
2
)
d
S
=
∫
E
1
d
S
+
∫
E
1
d
S
gdzie
E
1
jest wytwarzane przez
Q
1
, a
E
2
przez
Q
2
. Powołując się na wcześniejszy wynik
otrzymujemy
φ
całk
= (
Q
1
/ε
0
) + (
Q
2
/ε
0
) = (
Q
1
+
Q
2
)/ε
0
Całkowita liczba linii sił jest równa
całkowitemu ładunkowi
podzielonemu przez ε
0
. Po-
dobnie można pokazać dla dowolnej liczby
n
ładunków.
Otrzymujemy więc
prawo Gaussa
∫
S
E
d
=
4
π
kQ
=
Q
wewn
.
(18.6)
wewn
.
ε
0
Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi
podzielonemu przez ε
0
. Jeżeli
Q
jest ujemne strumień wpływa do ciała.
Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.
A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?
Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której
Q
wewn.
= 0, a linie sił
pochodzą od ładunku na zewnątrz.
d
a
b
c
18-5
E
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Wykład 18
18. Siła elektrostatyczna
18.1 Wstęp
Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyja-
śnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie ato-
mów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta meta-
lowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 10
25
razy większa
niż miedzi.
18.2 Ładunek elektryczny
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru
F
= 3.61·10
-47
N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie
F
= 2.27·10
-8
N.
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i
elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja ładunku
Ładunek elementarny
e
= 1.6·10
-19
C.
Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
18.2.2 Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin.
Wypadkowy ładunek w układzie zamknię-
tym jest stały.
18.3 Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch ładunków
q
1
i
q
2
F
=
k
q
1
r
q
2
(18.1)
2
gdzie stała
k
=
4
1
πε
. Współczynnik ε
0
= 8.854·10
-12
C
2
/(Nm
2
) nosi
nazwę
przenikalno-
0
ści elektrycznej próżni
.
W układzie cgs
k
= 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Siłę wypadkową
(tak jak w grawitacji)
obliczamy dodając wektorowo siły dwuciało-
we
.
Przykład 1
18-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie
l
. Jaka siła
jest wywierana na ładunek
q
umieszczony tak jak na rysunku?
+Q
l
-Q
r
r
F
2
q
F
F
1
Z podobieństwa trójkątów
F
=
1
l
F
r
Stąd
F
=
l
F
=
l
k
=
qk
Ql
=
qk
p
r
1
r
r
2
r
3
r
3
gdzie
p = Ql
jest
momentem dipolowym
.
18.4 Pole elektryczne
W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę
m
umieszczoną w tym punkcie
przestrzeni podzieloną przez tę masę.
Analogicznie
definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek
.
Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego
E
w dowolnym punkcie
P
, należy w tym
punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną
F
działającą
na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych
ładunków. Wtedy
E
=
F
(18.2)
q
Ładunek próbny jest
dodatni
(umowa). Kierunek
E
jest taki sam jak
F
(na ładunek do-
datni).
Przykład 2
Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie
P
nie ma "jakiegoś" ładunku tylko
tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy
E
kq
p
r
3
p
E
=
=
k
q
r
3
18-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Pole
E
w punkcie
P
jest skierowane w prawo.
+Q
l
-Q
r
r
F
2
P
F
Pole
E
w odległości
r
od ładunku punktowego
Q
jest równe
F
1
E
=
F
1
=
1
k
r
ˆ
=
k
Q
r
q
q
r
2
r
2
Pole elektryczne od
n
ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
∑
=
n
Q
E
=
k
i
r
ˆ
r
2
i
i
1
i
Przykład 3
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu
R
wynosi
Q
. Jakie jest
pole elektryczne na osi pierścienia w odległości
x
0
od środka?
r
P
dE
x
R
α
x
0
dE
Pole wytwarzane przez element d
l
pierścienia jest równe
d
E
x
= d
E
(cosα)
cosα =
x
0
/
r
Jeżeli λ =
Q
/2π
R
jest liniową gęstością ładunku to
d
E
λ
=
k
d
l
r
2
oraz
d
E
x
=
k
λ
d
l
x
0
r
2
r
18-3
ˆ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
E
=
E
=
k
λ
x
0
∫
d
l
=
k
λ
x
0
(
2
π
R
)
=
kx
0
Q
x
r
3
r
3
3
(
x
2
0
+
R
2
)
2
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (
x
0
= 0)
E
= 0, a dla
x
0
>>
R
pole
E
→
kQ
/
x
0
2
i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy
zajmować się szczegółami źródła pola. Np. pole
E = kQ
/
r
2
może pochodzić od wielu
źródeł.
18.4.1 Linie sił
Kierunek pola
E
w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw.
linii sił
. Linie nie
tylko pokazują kierunek
E
ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).
Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię ∆
S
oznaczymy ∆φ to wówczas
∆φ =
E
∆
S
=
E
∆
S
cosα
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ∆
S
i wektorem
E
.
W ogólności więc
dφ = d
E
d
s
(18.3)
i jest to definicja
strumienia elektrycznego
.
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
φ
=
∑
∆
E
S
powierzchn
ia
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
φ
=
∫
E
d
S
(18.4)
S
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości
r
od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku
Q
i liczymy strumień (liczbę
linii przez powierzchnię).
φ
=
E
(
4
π
r
2
)
=
k
Q
(
4
π
r
2
)
=
4
π
kQ
=
Q
(18.5)
r
2
ε
0
Otrzymany strumień nie zależy od
r
, a zatem strumień jest
jednakowy
dla
wszystkich
r
.
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa
Q
/ε
0
i linie te ciągną się do
nieskończoności.
18-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie
od
r
więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która ota-
cza ładunek
Q
).
Taka powierzchnia nazywa się
powierzchnią Gaussa
.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki
Q
1
i
Q
2
. Całkowita liczba linii
sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków
Q
1
i
Q
2
jest równa
c
φ
µ
k
=
∫ ∫
d
S
=
(
E
1
+
E
2
)
d
S
=
∫
E
1
d
S
+
∫
E
1
d
S
gdzie
E
1
jest wytwarzane przez
Q
1
, a
E
2
przez
Q
2
. Powołując się na wcześniejszy wynik
otrzymujemy
φ
całk
= (
Q
1
/ε
0
) + (
Q
2
/ε
0
) = (
Q
1
+
Q
2
)/ε
0
Całkowita liczba linii sił jest równa
całkowitemu ładunkowi
podzielonemu przez ε
0
. Po-
dobnie można pokazać dla dowolnej liczby
n
ładunków.
Otrzymujemy więc
prawo Gaussa
∫
S
E
d
=
4
π
kQ
=
Q
wewn
.
(18.6)
wewn
.
ε
0
Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi
podzielonemu przez ε
0
. Jeżeli
Q
jest ujemne strumień wpływa do ciała.
Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.
A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?
Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której
Q
wewn.
= 0, a linie sił
pochodzą od ładunku na zewnątrz.
d
a
b
c
18-5
E