13.L'hosp, MATMA, matematyka, Wykłady na telefon PDF-sciaga na egzamin

0
±
∞
ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU
,
0
±
∞
Twierdzenie de L’Hospitala / Bernoulliego
Jeżeli :
1)
funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a
,
( )
2)
lim
f
(
x
)
=
→
lim
g
(
x
)
=
0
x
0
∈
a
,
b
x
→
x
x
x
0
0
'
'
'
3)
istnieje skończona pochodna
f
(
0
x
)
,
g
(
0
x
)
przy czym
g
(
0
x
)
≠
0
'
f
(
x
)
f
(
x
)
0
to
lim
=
g
(
x
)
g
'
(
x
)
x
→
x
0
0
'
'
Dowód: Z istnienia skończonych pochodnych
f
(
0
x
)
,
g
(
0
x
)
wynika, że funkcje
f
,
g
są
ciągłe w
x
tzn.
lim
f
(
x
)
=
f
(
x
)
=
0
lim
g
(
x
)
=
g
(
x
)
=
0
0
0
x
→
x
2
)
x
→
x
2
)
0
0
'
Ponieważ
g
(
0
x
)
≠
0
więc ze wzoru Taylora wynika, że istnieje takie otoczenie
(
)
{ }
{ }
x
r
:
(
x
)
=
x
−
r
,
x
+
r
, że
g
(
x
)
≠
0
dla
V
r
(
x
0
\
)
x
zatem dla
x
r
∈
(
x
0
\
)
x
0
0
0
0
0
0
f
(
x
)
−
f
(
x
)
0
'
f
(
x
)
f
(
x
)
−
f
(
x
)
x
−
x
f
(
x
)
0
0
0
mamy
=
=
→
g
(
x
)
−
g
(
x
)
'
g
(
x
)
g
(
x
)
−
g
(
x
)
0
x
g
(
)
x
→
x
0
0
0
x
−
x
0
Twierdzenie 2
Jeżeli :
1)
funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
b
a
,
( )
2)
lim
f
(
x
)
=
→
lim
g
(
x
)
=
0
x
0
∈
a
,
b
x
→
x
x
x
0
0
3)
na przedziale
( )
'
'
'
(
n
−
1
'
'
'
(
n
−
1
a
, istnieje skończona pochodna
b
f
,
f
,...,
f
,
g
,
g
,...,
g
(
i
)
(
i
)
przy czym pochodne te
f
(
x
)
=
g
(
x
)
=
0
dla
i
=
1
2
,...
n
−
1
f
n
(
)
g
n
(
)
g
n
(
)
4)
istnieje skończone pochodne
(
0
x
)
,
(
0
x
)
przy czym
(
0
x
)
≠
0
to
n
f
(
x
)
f
(
x
)
lim
=
0
g
(
x
)
n
g
(
x
)
x
→
x
0
0
Twierdzenie 3
Jeżeli:
1)
funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
Δ
x
0
,
x
+
Δ
>
0
0
2)
wyliczamy granicę
lim
f
(
x
)
=
lim
g
(
x
)
=
0
+
+
x
→
x
x
→
x
0
0
3)
na przedziale
(
Δ
x
0
,
x
+
istnieje skończona pochodna
(
f
,
)
(
g
)
i
=
1
2
,...
n
−
1
0
(
i
)
(
i
)
przy czym
lim
f
(
x
)
=
lim
g
(
x
)
=
0
+
+
x
→
x
x
→
x
0
0
1
4)
na przedziale
(
Δ
(
n
)
(
n
)
x
0
,
x
+
Δ
>
0
istnieje skończona pochodna
f
,
g
przy czym
0
f
n
(
x
)
(
n
)
g
≠
0
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
lim
0
to
n
g
(
x
)
+
x
→
x
f
(
x
)
f
n
(
x
)
lim
=
lim
g
(
x
)
n
g
(
x
)
+
+
x
→
x
x
→
x
0
0
Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy
(
)
x
−
Δ
,
x
Δ
<
0
0
0
Twierdzenie 4
Jeżeli:
1)
funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
a
,+∞
)
,
>
a
0
2)
lim
f
(
x
)
=
lim
g
(
x
)
=
0
x
→
+∞
x
→
+∞
3)
na przedziale
a
,+∞
)
,
>
a
istnieje skończona pochodna
0
f
,
g
przy czym
g
'
(
x
)
≠
0
'
f
(
x
)
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
lim
'
g
(
x
)
x
+∞
→
'
f
(
x
)
f
(
x
)
to
lim
=
lim
'
g
(
x
)
g
(
x
)
x
→
+∞
x
→
+∞
Twierdzenie 5
Jeżeli:
1)
funkcje
f
,
g
są określone na przedziale
(
Δ
x
0
,
x
+
,
Δ
>
0
0
2)
lim
f
(
x
)
=
lim
g
(
x
)
=
0
+
+
x
→
x
x
→
x
0
0
3)
na przedziale
(
Δ
'
'
x
0
,
x
+
,
Δ
>
0
istnieje skończona pochodna
f
,
g
przy czym
0
'
f
(
x
)
'
g
(
x
)
≠
0
oraz istniej skończona lub nieskończona granica
lim
to
0
x
g
'
(
)
+
x
→
x
'
f
(
x
)
f
(
x
)
lim
=
lim
g
(
x
)
g
'
(
x
)
+
+
x
→
x
x
→
x
0
0
Uwaga: Jeżeli funkcja
f
,
g
dążą do + przy
x
→ to zamiast badać wyrażenie typu
x
0
1
∞
0
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
0
można badać wyrażenie typu
gdyż
=
1
∞
0
∞
g
(
x
)
0
f
(
x
)
( )
1
( )
0
( )
WYRAŻENIA NIEOZNACZONE TYPU
( )
(
)
∞
0
0
0
⋅
∞
∞
⋅
−∞
∞
0
∞
Nieoznaczoność typu
( )
0
⋅
∞
można sprowadzić do postaci
lub
0
∞
2
f
(
x
)
+
∞
Jeżeli
lim
0
f
(
x
)
=
0
,
lim
0
g
(
x
)
=
+∞
to piszemy
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
≡
≡
1
1
x
→
x
x
→
x
g
(
x
)
f
(
x
)
(
)
Jeżeli
lim
0
f
(
x
)
=
+∞
,
lim
0
g
(
x
)
=
+∞
to badając granicę
lim
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
można napisać
x
→
x
x
→
x
x
→
x
1
1
−
1
1
g
(
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
−
=
=
1
1
1
1
0
⋅
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
(
)
x
→ wyrażeniem nieoznaczonym typu
( )
1
( )
0
0
( )
g
(
x
)
Jeżeli
f
=
(
)
f
(
x
)
jest przy
x
∞
∞
0
(
)
(
)
g
(
x
)
g
(
x
)
to równanie
f
=
(
)
f
(
x
)
logarytmujemy obustronnie
ln
y
=
ln
f
(
x
)
(
)
ln
y
=
g
(
x
)
ln
f
(
x
)
3

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

hannaeva.xlx.pl