Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Układyzło»one-wykład1
13.10.2006
1Elementyteoriiprocesówstochastycznych.
1.1Zmiennalosowa.
Zmienn¡losow¡nazywamydowoln¡funkcj¦mierzaln¡postaci
X:(,A,P)!
R
gdzie
-zbiórzdarze«elementarnych,
A-zdarzeniawtejprzestrzeni,
P-prawdopodobie«stwo.
Rozpatrujemyzmienn¡losow¡naprzestrzenidyskretnej:
={!
1
,!
2
,...,!
n
}
P(!
i
)=P
i
Przykład1:
Przyjmijmy,»erzucamykostk¡dogry,wtedy:
={!
1
,!
2
,...,!
6
}
X
B
(!
i
)=i
P(!
i
)=
1
6
Przykład2:
Zmiennalosowabardziejskomplikowana
X
A
(!
i
)=
1 je»eliiparzyste
−1je»eliinieparzyste
Poj¦ciem,przezktórecharakteryzujemyzmienn¡losow¡jest:
1
1.2Dystrybuantazmiennejlosowej
Dystrybuant¡zmiennejlosowejXnazywamyfunkcj¦
F(X)=Pr
X(!)x
Funkcjatamanast¦puj¡cewłasno±ci:
1. F(−1)=0,
2. F(1)=1,
3. funkcjaniemalej¡ca,
4. jestwsz¦dzieokre±lonaizawszeistnieje.
PrzykładF(X
B
)
PrzykładF(X
A
)
Poj¦ciempochodnymoddystrybuantyjest:
2
1.3Dystrybucjazmiennejlosowej(tzw.g¦sto±¢rozkładu)
G¦sto±¢opisujemywzorem:
f(x)=
@F(x)
@x
G¦sto±¢niezawszeistnieje!
Kolejnympoj¦ciemopisuj¡cymzmienn¡losow¡jest:
1.4Warto±¢oczekiwanazmiennejlosowej(inaczej±red-
nia)
Okre±lamyj¡nast¦puj¡co:
Z
µ
X
=E[X]=
f
X
(x)·xdx
R
Dlaprzykładu1mamy:
µ
X
B
=3,5
Charakterystykazmiennejlosowejjedynieprzeztak¡warto±¢jestniewystar-
czaj¡ca.
Abyzbada¢jakijestrozkładwynikówwprowadzonopoj¦cie:
1.5Wariancja
Wariancjazmiennejlosowej-rozrzutwynikówwokółwarto±ci±redniej.
2
X
=Var[X]=E[(X−E[X])
2
]=E[X
2
]−(E[X])
2
Dlaprzykładu1mamy:
2
X
=2,917
Rozpatrywanezmiennelosowemiałyrozkładjednostajnyczylici¡gły
rozkładprawdopodobie«stwa,dlaktóregog¦sto±¢prawdopodobie«stwaw
przedzialeodadobjeststałairó»naodzera,apozanimrównazeru.
Wempirycznychseriachczasowychrozkładjednostajnyjestrzadkospo-
tykany.Cz¦sciejrozpatrywanyjesttzw.rozkładnormalny(Gaussa)
f
G
(x)=
1
p
2
2
e
−
(x
−
µ)
2
2
2
gdzieµoznacza±redni¡atzw.odchyleniestandardowe(równowa»newari-
ancji
2
).
Wszechobecno±¢rozkładunormalnegowi¡»esi¦znast¦puj¡cymtwierdze-
niem:
3
1.6Centralnetwierdzeniegraniczne
Badanajestzmiennalosowa,którajestsum¡niezale»nychzmiennychlosowych
ojednakowymrozkladzieitakiejsamejwarto±cioczekiwanejµisko«czonej
wariancji
2
.Je±liilo±¢składnikówro±nie,tozmiennatazbiegadorozkładu
normalnego.
Czyli:
S
n
=X
1
+X
2
+...+X
n
E[X
i
]=µ
i
(jestsko«czona)
Var[X
i
]=
2
i
(jestsko«czona)
to:
˜
S
n
=
(X
1
−µ
1
)+(X
2
−µ
2
)+...+(X
n
−µ
n
)
p
P
n
i=1
2
i
wtedy
˜
S
n
przyn!1marozkładnormalnyunormowanyN(0,1).
1.7Processtochastyczny
Procesemstochastycznymnazywamyrodzin¦zmiennychlosowychX
t
indek-
sowan¡czasemt2T,X
t
:(,A,P
t
)!
R
We¹myseri¦wynikówrzutemkostk¡dogrygdzieczasjestdyskretny,mamy:
{1,2,4,1,5,6,3,2,...} T=1,2,3,...
Badamy,czyzdarzeniaX
1
,X
2
,X
3
,...s¡mi¦dzysob¡niezale»ne.rednia
procesustochastycznegoµ(t)zale»yodczasu,dlategote»dlaokre±leniawłas-
no±cistochastycznychszukamy
dystrybuant¦procesustochastycznegoczylił¡czneprawdopodobie«stwo
zaistnienianzdarze«:
F(x
1
,x
2
,...,x
n
,t
1
,t
2
,...,t
n
)=P(X
t
1
x
1
,X
t
2
x
2
,...,X
t
n
x
n
)
g¦sto±¢procesustochasycznegowyra»amywzorem:
f(x
1
,x
2
,...,x
n
)=
@
n
F(x
1
,x
2
,...,x
n
,t
1
,t
2
,...,t
n
)
@x
1
@x
2
·...·@x
n
dlan=1mamy:
F(x,t)=P(X
t
x)
Z
µ(t)=E[X
t
]=
f(x,t)·xdx
4
1.8Autokorelacje
Autokorelacj¦okre±lamynast¦puj¡co:
Z
r(t
1
,t
2
)=E[X
t
1
,X
t
2
]=
f(x
1
,x
2
,t
1
,t
2
)·x
1
x
2
dx
1
dx
2
Wprzypadku,gdymamydoczynieniazci¡giemwarto±cidyskretnych{x
1
,...,x
n
}
r(t
1
,t
2
)=
X
i,j
x
i
x
j
·Pr(X
t
1
=x
i
,X
t
2
=x
j
)
1.9Autokowariancje
Autokowariancja-wariancjaprocesustochastycznego.Okre±lamyj¡wzorem:
C(t
1
,t
2
)=r(t
1
,t
2
)−µ(t
1
)µ(t
2
)
gdyt
1
=t
2
to
Var
X
t
=r(t,t)−µ
2
(t)
1.10Stacjonarno±¢procesówstochastycznych
1.10.1W±cisłymsensie
Processtochastycznynazywamystacjonarnymw±cisłymsensieje±li
wszystkiedystrybuantysko«czeniewymiarowes¡niezmienniczewzgl¦dem
przesuni¦ciawczasie.
F(x
1
,...,x
n
,t
1
,...,t
n
)=F(x
1
,...,x
n
,t
1
+,...,t
n
+)
dladowolnegon=1,2,3,... i2
R
1.10.2Wszerokimsensie
ProcesstochastycznyX
t
jeststacjonarnywszerokimsensie(stacjonarno±¢II
rz¦du)je»eli:
1. µ(t)=µ=const(warto±¢±rednianiezmieniasi¦naautokorelacj¦)
2. r(t,t+)=r() (zale»yodró»nicyczasów)
5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
13.10.2006
1Elementyteoriiprocesówstochastycznych.
1.1Zmiennalosowa.
Zmienn¡losow¡nazywamydowoln¡funkcj¦mierzaln¡postaci
X:(,A,P)!
R
gdzie
-zbiórzdarze«elementarnych,
A-zdarzeniawtejprzestrzeni,
P-prawdopodobie«stwo.
Rozpatrujemyzmienn¡losow¡naprzestrzenidyskretnej:
={!
1
,!
2
,...,!
n
}
P(!
i
)=P
i
Przykład1:
Przyjmijmy,»erzucamykostk¡dogry,wtedy:
={!
1
,!
2
,...,!
6
}
X
B
(!
i
)=i
P(!
i
)=
1
6
Przykład2:
Zmiennalosowabardziejskomplikowana
X
A
(!
i
)=
1 je»eliiparzyste
−1je»eliinieparzyste
Poj¦ciem,przezktórecharakteryzujemyzmienn¡losow¡jest:
1
1.2Dystrybuantazmiennejlosowej
Dystrybuant¡zmiennejlosowejXnazywamyfunkcj¦
F(X)=Pr
X(!)x
Funkcjatamanast¦puj¡cewłasno±ci:
1. F(−1)=0,
2. F(1)=1,
3. funkcjaniemalej¡ca,
4. jestwsz¦dzieokre±lonaizawszeistnieje.
PrzykładF(X
B
)
PrzykładF(X
A
)
Poj¦ciempochodnymoddystrybuantyjest:
2
1.3Dystrybucjazmiennejlosowej(tzw.g¦sto±¢rozkładu)
G¦sto±¢opisujemywzorem:
f(x)=
@F(x)
@x
G¦sto±¢niezawszeistnieje!
Kolejnympoj¦ciemopisuj¡cymzmienn¡losow¡jest:
1.4Warto±¢oczekiwanazmiennejlosowej(inaczej±red-
nia)
Okre±lamyj¡nast¦puj¡co:
Z
µ
X
=E[X]=
f
X
(x)·xdx
R
Dlaprzykładu1mamy:
µ
X
B
=3,5
Charakterystykazmiennejlosowejjedynieprzeztak¡warto±¢jestniewystar-
czaj¡ca.
Abyzbada¢jakijestrozkładwynikówwprowadzonopoj¦cie:
1.5Wariancja
Wariancjazmiennejlosowej-rozrzutwynikówwokółwarto±ci±redniej.
2
X
=Var[X]=E[(X−E[X])
2
]=E[X
2
]−(E[X])
2
Dlaprzykładu1mamy:
2
X
=2,917
Rozpatrywanezmiennelosowemiałyrozkładjednostajnyczylici¡gły
rozkładprawdopodobie«stwa,dlaktóregog¦sto±¢prawdopodobie«stwaw
przedzialeodadobjeststałairó»naodzera,apozanimrównazeru.
Wempirycznychseriachczasowychrozkładjednostajnyjestrzadkospo-
tykany.Cz¦sciejrozpatrywanyjesttzw.rozkładnormalny(Gaussa)
f
G
(x)=
1
p
2
2
e
−
(x
−
µ)
2
2
2
gdzieµoznacza±redni¡atzw.odchyleniestandardowe(równowa»newari-
ancji
2
).
Wszechobecno±¢rozkładunormalnegowi¡»esi¦znast¦puj¡cymtwierdze-
niem:
3
1.6Centralnetwierdzeniegraniczne
Badanajestzmiennalosowa,którajestsum¡niezale»nychzmiennychlosowych
ojednakowymrozkladzieitakiejsamejwarto±cioczekiwanejµisko«czonej
wariancji
2
.Je±liilo±¢składnikówro±nie,tozmiennatazbiegadorozkładu
normalnego.
Czyli:
S
n
=X
1
+X
2
+...+X
n
E[X
i
]=µ
i
(jestsko«czona)
Var[X
i
]=
2
i
(jestsko«czona)
to:
˜
S
n
=
(X
1
−µ
1
)+(X
2
−µ
2
)+...+(X
n
−µ
n
)
p
P
n
i=1
2
i
wtedy
˜
S
n
przyn!1marozkładnormalnyunormowanyN(0,1).
1.7Processtochastyczny
Procesemstochastycznymnazywamyrodzin¦zmiennychlosowychX
t
indek-
sowan¡czasemt2T,X
t
:(,A,P
t
)!
R
We¹myseri¦wynikówrzutemkostk¡dogrygdzieczasjestdyskretny,mamy:
{1,2,4,1,5,6,3,2,...} T=1,2,3,...
Badamy,czyzdarzeniaX
1
,X
2
,X
3
,...s¡mi¦dzysob¡niezale»ne.rednia
procesustochastycznegoµ(t)zale»yodczasu,dlategote»dlaokre±leniawłas-
no±cistochastycznychszukamy
dystrybuant¦procesustochastycznegoczylił¡czneprawdopodobie«stwo
zaistnienianzdarze«:
F(x
1
,x
2
,...,x
n
,t
1
,t
2
,...,t
n
)=P(X
t
1
x
1
,X
t
2
x
2
,...,X
t
n
x
n
)
g¦sto±¢procesustochasycznegowyra»amywzorem:
f(x
1
,x
2
,...,x
n
)=
@
n
F(x
1
,x
2
,...,x
n
,t
1
,t
2
,...,t
n
)
@x
1
@x
2
·...·@x
n
dlan=1mamy:
F(x,t)=P(X
t
x)
Z
µ(t)=E[X
t
]=
f(x,t)·xdx
4
1.8Autokorelacje
Autokorelacj¦okre±lamynast¦puj¡co:
Z
r(t
1
,t
2
)=E[X
t
1
,X
t
2
]=
f(x
1
,x
2
,t
1
,t
2
)·x
1
x
2
dx
1
dx
2
Wprzypadku,gdymamydoczynieniazci¡giemwarto±cidyskretnych{x
1
,...,x
n
}
r(t
1
,t
2
)=
X
i,j
x
i
x
j
·Pr(X
t
1
=x
i
,X
t
2
=x
j
)
1.9Autokowariancje
Autokowariancja-wariancjaprocesustochastycznego.Okre±lamyj¡wzorem:
C(t
1
,t
2
)=r(t
1
,t
2
)−µ(t
1
)µ(t
2
)
gdyt
1
=t
2
to
Var
X
t
=r(t,t)−µ
2
(t)
1.10Stacjonarno±¢procesówstochastycznych
1.10.1W±cisłymsensie
Processtochastycznynazywamystacjonarnymw±cisłymsensieje±li
wszystkiedystrybuantysko«czeniewymiarowes¡niezmienniczewzgl¦dem
przesuni¦ciawczasie.
F(x
1
,...,x
n
,t
1
,...,t
n
)=F(x
1
,...,x
n
,t
1
+,...,t
n
+)
dladowolnegon=1,2,3,... i2
R
1.10.2Wszerokimsensie
ProcesstochastycznyX
t
jeststacjonarnywszerokimsensie(stacjonarno±¢II
rz¦du)je»eli:
1. µ(t)=µ=const(warto±¢±rednianiezmieniasi¦naautokorelacj¦)
2. r(t,t+)=r() (zale»yodró»nicyczasów)
5