Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
53
Granica ci
gu punktów
Ci
g punktów )
(
P
,
P
=
(
x
;
y
)
, jest zbie
ny do punktu
P
=
(
x
;
y
)
, gdy
lim
(
x
-
x
)
2
+
(
y
-
y
)
2
=
0
. Zatem
n
n
n
0
0
0
n
0
n
0
n
®
¥
lim
P
n
=
lim
(
x
n
,
y
n
)
=
P
0
=
(
x
0
,
y
0
)
Û (
lim
x
n
=
x
0
i
lim
y
n
=
y
0
)
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Zadanie 1
.
Obliczy
granic
ci
gu
(
x
,
y
)
=
(
n
n
,
ln
n
+
1
)
.
n
n
n
+
2
Rozwi
zanie
Poniewa
lim
x
=
lim
n
n
=
1
,
lim
y
=
lim
ln
n
+
1
=
ln
1
=
0
, wi
c ci
g
(
n
n
,
ln
n
+
1
)
jest zbie
ny i jego granic
n
n
n
+
2
n
+
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
jest punkt
(
0
.
Zadanie 2.
Obliczy
granic
ci
gu
(
x
,
y
)
=
(sin
p
,
cos
p
)
.
n
n
n
+
1
n
+
2
Rozwi
zanie
Poniewa
lim
x
=
lim
sin
p
=
sin
0
=
0
,
lim
y
=
lim
cos
p
=
cos
0
=
1
, wi
c ci
g
(sin
p
,
cos
p
)
jest
n
n
n
+
1
n
+
2
n
+
1
n
+
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
zbie
ny i jego granic
jest punkt
(
0
1
.
54
Granica funkcji dwu zmiennych
lim
f
(
x
,
y
)
=
g
Û dla ka
dego ci
gu Heinego
(
x
n
,
y
n
)
dla punktu
(
x
0
,
y
0
)
i zbioru
D
ci
g
(
f
f
(
x
n
,
y
n
)
)
jest
(
x
,
y
®
(
x
,
y
)
0
0
zbie
ny do
g
.
Definicja granicy cz
ciowej:
Liczba
g
jest granic
cz
ciow
funkcji
f
w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
Û istnieje ci
g Heinego
(
x
n
y
,
n
)
dla punktu
(
x
0
y
,
0
)
i
zbioru
D
taki,
e ci
g
(
f
f
(
x
)
)
jest zbie
ny do
g
.
F
AKT
.
Je
li
g
jest granic
funkcji
f
w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
skupienia dziedziny funkcji, to wszystkie granice cz
ciowe funkcji
f
w
punkcie
(
x
0
y
,
0
)
s
równe liczbie
g.
F
AKT
.
Je
li funkcja
f
ma dwie ró
ne granice cz
ciowe w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
, to funkcja
f
nie ma granicy w tym punkcie.
Zadanie 3
.
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Obliczy
granic
lim
.
2
2
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
x
+
y
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
118
)
Rozwi
zanie
a
2
-
b
2
Wyra
enie w liczniku przekształcamy w oparciu o wzór
a
-
b
=
.
a
+
b
x
2
+
y
2
+
1
-
1
(
x
2
+
y
2
+
1
-
1
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
lim
=
lim
=
2
2
(
x
,
y
)
®
0
0
)
x
+
y
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
(
x
2
+
y
2
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
x
2
+
y
2
1
=
lim
=
lim
=
1
.
2
(
x
,
y
)
®
(
(
x
2
+
y
2
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
(
x
y
)
®
(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
Zadanie 4.
x
3
-
y
3
Obliczy
granic
lim
.
x
-
y
(
x
,
y
)
®
(
Rozwi
zanie
x
3
-
y
3
(
x
-
y
)(
x
2
+
xy
+
y
2
)
lim
=
lim
=
lim
(
x
2
+
xy
+
y
2
)
=
3
x
-
y
x
-
y
(
x
,
y
)
®
(
(
x
,
y
®
(
(
x
,
y
)
®
(
Zadanie 5.
Obliczy
granic
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Rozwi
zanie
Korzystaj
c z twierdzenia o trzech funkcjach poka
emy,
e
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
=
0
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Dla ka
dego punktu
(
x
Î
,
y
)
D
f
słuszne s
nierówno
ci
-
(
x
2
+
y
2
)
£
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
£
x
2
+
y
2
.
xy
Poniewa
lim
(
-
x
2
-
y
2
)
=
0
,
lim
(
x
2
+
y
2
)
=
0
, wi
c
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
=
0
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
(
x
,
y
)
®
(
0
0
)
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Zadanie 6.
x
2
+
y
2
Obliczy
granic
lim
.
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Zadanie 7.
x
2
+
y
2
Obliczy
granic
lim
.
2
2
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
x
-
y
Rozwi
zanie
Poka
emy,
e granica ta nie istnieje. W tym celu rozpatrujemy dwa ci
gi
(
x
¢
,
y
¢
)
=
(
1
,
0
)
,
(
x
¢
,
y
¢
)
=
(
0
1
)
zbie
ne
n
n
n
n
n
n
do punktu
(
0
0
)
oraz odpowiadaj
ce im ci
gi warto
ci funkcji:
1
+
0
(
x
¢
)
2
+
(
y
¢
)
2
2
n
lim
n
n
=
lim
=
1
,
2
2
1
(
x
¢
,
y
¢
)
®
(
0
,
0
)
(
x
¢
)
-
(
y
¢
)
n
®
¥
n
n
n
n
-
0
2
n
0
+
1
(
x
¢
)
2
+
(
y
¢
)
2
2
n
lim
n
n
=
lim
=
-
1
.
2
2
1
(
x
¢
,
y
¢
)
®
(
0
,
0
)
(
x
¢
)
-
(
y
¢
)
n
®
¥
n
n
n
n
0
-
n
2
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
119
(
,
,
)
,
Otrzymali
my ró
ne granice cz
ciowe, zatem rozwa
ana granica nie istnieje.
55
Ci
gło
funkcji dwu zmiennych
Funkcja
f
jest okre
lona w otoczeniu
U
(
x
0
y
,
)
punktu
(
x
0
,
y
0
)
Î
D
f
(a tym samym i w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
). Wówczas
0
funkcja
f
jest ci
gła w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
.
(
x
,
y
)
®
(
x
,
y
)
0
0
Zadanie 8
.
Ê
x
2
+
y
2
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
Skorzystamy z definicji ci
gło
ci funkcji w punkcie. Funkcja
f
jest ci
gła dla
x
2
+
y
2
A
=
lim
=
2
.
(
x
,
y
)
®
0
,
0
)
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Granica taka została obliczona w zadaniu 3.
Zadanie 9.
Ê
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
2
2
x
+
y
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
).
Rozwi
zanie
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
1
.
2
2
2
(
x
y
)
®
(
0
,
0
)
x
+
y
Zadanie 10.
Ê
x
2
+
y
2
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
x
2
+
y
2
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
-
4
.
(
x
y
®
0
,
0
)
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Zadanie 11.
Ê
sin(
x
3
+
y
3
)
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
2
2
x
+
y
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
sin(
x
3
+
y
3
)
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
0
.
x
2
+
y
2
(
x
y
)
®
0
,
0
)
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
120
(
,
,
)
(
,
(
56
Pochodne cz
stkowe
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
(
x
0
,
y
0
)
,
x
0
0
D
x
D
x
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
(
x
0
,
y
0
)
,
y
0
0
D
y
D
y
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
x
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
xx
0
0
D
x
D
x
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
y
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
y
(
x
0
,
y
0
)
,
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
x
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
xy
0
0
yx
0
0
D
x
D
y
D
x
®
0
D
y
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
y
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
y
(
x
0
,
y
0
)
.
yy
0
0
D
y
®
0
D
y
Twierdzenie (Schwarza o pochodnych mieszanych)
Niech funkcja
f
b
dzie okre
lona na otoczeniu punktu
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
. Ponadto niech pochodne cz
stkowe
x
f
,
y
f
istniej
na otoczeniu punktu
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
i b
d
ci
głe w punkcie
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
. Wówczas
f
xy
(
P
0
)
=
f
yx
(
P
0
)
.
Zadanie 1
.
Obliczy
pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
sin
x
×
cos
y
.
y
x
Rozwi
zanie
Zastosujemy wzór na pochodn
iloczynu funkcji. Pochodn
cz
stkow
wzgl
dem
x
liczymy tak jak zwykł
pochodn
funkcji jednej zmiennej
x
, przy czym zmienn
y
traktujemy jako stały parametr.
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
Å
Æ
sin
x
Õ
Ö
×
cos
y
+
sin
x
×
¶
Å
Æ
cos
y
Õ
Ö
=
1
cos
x
×
cos
y
-
y
sin
x
×
sin
y
;
¶
x
¶
x
y
x
y
¶
x
x
y
y
x
2
y
x
x
Pochodn
cz
stkow
wzgl
dem
y
liczymy tak jak zwykł
pochodn
funkcji jednej zmiennej
y
, przy czym zmienn
x
traktujemy jako stały parametr.
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
Å
Æ
sin
x
Õ
Ö
×
cos
y
+
sin
x
×
¶
Å
Æ
cos
y
Õ
Ö
=
-
x
cos
x
×
cos
y
-
1
sin
x
×
sin
y
.
¶
y
¶
y
y
x
y
¶
y
x
2
y
x
x
y
x
y
Zadanie 2.
Obliczy
pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
tg
y
.
x
Rozwi
zanie
¶
f
(
x
,
y
)
=
Æ
tg
y
Ö
=
1
×
Æ
y
Ö
=
-
y
;
¶
x
x
y
x
y
2
2
2
x
cos
x
x
cos
x
x
¶
f
(
x
,
y
)
=
Æ
tg
y
Ö
=
1
×
Æ
y
Ö
=
1
.
¶
y
x
y
x
y
y
cos
2
y
x
cos
2
x
x
Zadanie 3.
Oblicz pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln
tg
x
.
y
Rozwi
zanie
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
121
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
¶
f
(
x
,
y
)
=
Å
Æ
lntg
x
Õ
Ö
=
1
×
Å
Æ
tg
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
1
=
2
;
¶
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
2
x
x
tg
x
tg
cos
2
x
tg
cos
2
y
sin
y
y
y
y
y
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
Å
Æ
lntg
x
Õ
Ö
=
1
×
Å
Æ
tg
x
Õ
Ö
=
1
×
1
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
-
x
=
-
2
x
.
x
x
x
x
x
2
2
x
¶
y
y
y
y
y
y
tg
y
tg
cos
2
y
tg
cos
2
y
2
sin
y
y
y
y
y
y
Zadanie 4.
Oblicz pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln(
x
+
ln
y
)
.
¶
f
(
x
,
y
)
=
(
ln(
x
+
ln
y
)
)
=
1
×
(
x
+
ln
y
)
=
1
;
¶
x
x
x
+
ln
y
x
x
+
ln
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
(
ln(
x
+
ln
y
)
)
=
1
(
x
+
ln
y
)
=
1
.
¶
y
y
x
+
ln
y
y
y
+
(
x
ln
y
)
Zadanie 5.
Oblicz pochodne cz
stkowe funkcji
f
(
x
,
y
)
= arcsin
(
2
x
-
3
+
9
-
x
2
-
y
2
.
Zadanie 6.
1
-
x
2
+
y
2
Oblicz pochodne cz
stkowe funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln
.
1
+
x
2
+
y
2
Zadanie 7.
Oblicz pochodne cz
stkowe drugiego rz
du funkcji
f
(
x
,
y
)
=
arcsin
(
xy
)
.
Rozwi
zanie
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Ä
y
Ô
xy
3
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
Å
Õ
2
¶
x
¶
x
¶
x
(
)
3
¶
x
Æ
1
-
(
xy
)
2
Ö
1
-
(
xy
)
2
¶
f
=
1
×
(
xy
)
=
y
;
x
¶
x
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Å
Æ
y
Õ
Ö
1
=
Æ
Ö
=
=
¶
y
¶
x
¶
y
¶
x
¶
y
(
)
3
2
1
-
(
xy
)
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Å
Æ
x
Õ
Ö
1
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
(
)
3
¶
x
¶
y
¶
x
¶
y
¶
x
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
f
=
1
×
(
xy
)
=
x
y
¶
y
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Ä
x
Ô
x
3
y
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
.
Å
Õ
2
¶
y
¶
y
¶
y
(
)
3
¶
y
1
-
(
xy
)
2
Æ
Ö
1
-
(
xy
)
2
Zadanie 8.
Oblicz pochodne cz
stkowe drugiego rz
du funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln(
x
+
x
2
+
y
2
)
.
Rozwi
zanie
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
122
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
×
Ä
Ô
×
Å
Õ
Ä
Ô
Ä
Ô
Å
Õ
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Granica ci
gu punktów
Ci
g punktów )
(
P
,
P
=
(
x
;
y
)
, jest zbie
ny do punktu
P
=
(
x
;
y
)
, gdy
lim
(
x
-
x
)
2
+
(
y
-
y
)
2
=
0
. Zatem
n
n
n
0
0
0
n
0
n
0
n
®
¥
lim
P
n
=
lim
(
x
n
,
y
n
)
=
P
0
=
(
x
0
,
y
0
)
Û (
lim
x
n
=
x
0
i
lim
y
n
=
y
0
)
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Zadanie 1
.
Obliczy
granic
ci
gu
(
x
,
y
)
=
(
n
n
,
ln
n
+
1
)
.
n
n
n
+
2
Rozwi
zanie
Poniewa
lim
x
=
lim
n
n
=
1
,
lim
y
=
lim
ln
n
+
1
=
ln
1
=
0
, wi
c ci
g
(
n
n
,
ln
n
+
1
)
jest zbie
ny i jego granic
n
n
n
+
2
n
+
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
jest punkt
(
0
.
Zadanie 2.
Obliczy
granic
ci
gu
(
x
,
y
)
=
(sin
p
,
cos
p
)
.
n
n
n
+
1
n
+
2
Rozwi
zanie
Poniewa
lim
x
=
lim
sin
p
=
sin
0
=
0
,
lim
y
=
lim
cos
p
=
cos
0
=
1
, wi
c ci
g
(sin
p
,
cos
p
)
jest
n
n
n
+
1
n
+
2
n
+
1
n
+
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
zbie
ny i jego granic
jest punkt
(
0
1
.
54
Granica funkcji dwu zmiennych
lim
f
(
x
,
y
)
=
g
Û dla ka
dego ci
gu Heinego
(
x
n
,
y
n
)
dla punktu
(
x
0
,
y
0
)
i zbioru
D
ci
g
(
f
f
(
x
n
,
y
n
)
)
jest
(
x
,
y
®
(
x
,
y
)
0
0
zbie
ny do
g
.
Definicja granicy cz
ciowej:
Liczba
g
jest granic
cz
ciow
funkcji
f
w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
Û istnieje ci
g Heinego
(
x
n
y
,
n
)
dla punktu
(
x
0
y
,
0
)
i
zbioru
D
taki,
e ci
g
(
f
f
(
x
)
)
jest zbie
ny do
g
.
F
AKT
.
Je
li
g
jest granic
funkcji
f
w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
skupienia dziedziny funkcji, to wszystkie granice cz
ciowe funkcji
f
w
punkcie
(
x
0
y
,
0
)
s
równe liczbie
g.
F
AKT
.
Je
li funkcja
f
ma dwie ró
ne granice cz
ciowe w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
, to funkcja
f
nie ma granicy w tym punkcie.
Zadanie 3
.
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Obliczy
granic
lim
.
2
2
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
x
+
y
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
118
)
Rozwi
zanie
a
2
-
b
2
Wyra
enie w liczniku przekształcamy w oparciu o wzór
a
-
b
=
.
a
+
b
x
2
+
y
2
+
1
-
1
(
x
2
+
y
2
+
1
-
1
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
lim
=
lim
=
2
2
(
x
,
y
)
®
0
0
)
x
+
y
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
(
x
2
+
y
2
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
x
2
+
y
2
1
=
lim
=
lim
=
1
.
2
(
x
,
y
)
®
(
(
x
2
+
y
2
)(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
(
x
y
)
®
(
x
2
+
y
2
+
1
+
1
Zadanie 4.
x
3
-
y
3
Obliczy
granic
lim
.
x
-
y
(
x
,
y
)
®
(
Rozwi
zanie
x
3
-
y
3
(
x
-
y
)(
x
2
+
xy
+
y
2
)
lim
=
lim
=
lim
(
x
2
+
xy
+
y
2
)
=
3
x
-
y
x
-
y
(
x
,
y
)
®
(
(
x
,
y
®
(
(
x
,
y
)
®
(
Zadanie 5.
Obliczy
granic
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Rozwi
zanie
Korzystaj
c z twierdzenia o trzech funkcjach poka
emy,
e
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
=
0
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Dla ka
dego punktu
(
x
Î
,
y
)
D
f
słuszne s
nierówno
ci
-
(
x
2
+
y
2
)
£
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
£
x
2
+
y
2
.
xy
Poniewa
lim
(
-
x
2
-
y
2
)
=
0
,
lim
(
x
2
+
y
2
)
=
0
, wi
c
lim
(
x
2
+
y
2
)
cos
1
=
0
.
xy
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
(
x
,
y
)
®
(
0
0
)
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
Zadanie 6.
x
2
+
y
2
Obliczy
granic
lim
.
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Zadanie 7.
x
2
+
y
2
Obliczy
granic
lim
.
2
2
(
x
,
y
)
®
(
0
,
0
)
x
-
y
Rozwi
zanie
Poka
emy,
e granica ta nie istnieje. W tym celu rozpatrujemy dwa ci
gi
(
x
¢
,
y
¢
)
=
(
1
,
0
)
,
(
x
¢
,
y
¢
)
=
(
0
1
)
zbie
ne
n
n
n
n
n
n
do punktu
(
0
0
)
oraz odpowiadaj
ce im ci
gi warto
ci funkcji:
1
+
0
(
x
¢
)
2
+
(
y
¢
)
2
2
n
lim
n
n
=
lim
=
1
,
2
2
1
(
x
¢
,
y
¢
)
®
(
0
,
0
)
(
x
¢
)
-
(
y
¢
)
n
®
¥
n
n
n
n
-
0
2
n
0
+
1
(
x
¢
)
2
+
(
y
¢
)
2
2
n
lim
n
n
=
lim
=
-
1
.
2
2
1
(
x
¢
,
y
¢
)
®
(
0
,
0
)
(
x
¢
)
-
(
y
¢
)
n
®
¥
n
n
n
n
0
-
n
2
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
119
(
,
,
)
,
Otrzymali
my ró
ne granice cz
ciowe, zatem rozwa
ana granica nie istnieje.
55
Ci
gło
funkcji dwu zmiennych
Funkcja
f
jest okre
lona w otoczeniu
U
(
x
0
y
,
)
punktu
(
x
0
,
y
0
)
Î
D
f
(a tym samym i w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
). Wówczas
0
funkcja
f
jest ci
gła w punkcie
(
x
0
y
,
0
)
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
.
(
x
,
y
)
®
(
x
,
y
)
0
0
Zadanie 8
.
Ê
x
2
+
y
2
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
Skorzystamy z definicji ci
gło
ci funkcji w punkcie. Funkcja
f
jest ci
gła dla
x
2
+
y
2
A
=
lim
=
2
.
(
x
,
y
)
®
0
,
0
)
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Granica taka została obliczona w zadaniu 3.
Zadanie 9.
Ê
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
2
2
x
+
y
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
).
Rozwi
zanie
x
2
+
y
2
+
1
-
1
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
1
.
2
2
2
(
x
y
)
®
(
0
,
0
)
x
+
y
Zadanie 10.
Ê
x
2
+
y
2
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
x
2
+
y
2
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
-
4
.
(
x
y
®
0
,
0
)
4
-
x
2
-
y
2
-
2
Zadanie 11.
Ê
sin(
x
3
+
y
3
)
Ë
dla
(
x
,
y
)
¹
(
0
),
Czy mo
na dobra
warto
A
tak, by była ci
gła funkcja
f
(
x
,
y
)
=
2
2
x
+
y
Ì
A
dla
(
x
,
y
)
=
(
0
0
).
Rozwi
zanie
sin(
x
3
+
y
3
)
Funkcja
f
jest ci
gła dla
A
=
lim
=
0
.
x
2
+
y
2
(
x
y
)
®
0
,
0
)
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
120
(
,
,
)
(
,
(
56
Pochodne cz
stkowe
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
(
x
0
,
y
0
)
,
x
0
0
D
x
D
x
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
(
x
0
,
y
0
)
,
y
0
0
D
y
D
y
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
x
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
xx
0
0
D
x
D
x
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
y
(
x
0
+
D
x
,
y
0
)
-
f
y
(
x
0
,
y
0
)
,
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
x
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
xy
0
0
yx
0
0
D
x
D
y
D
x
®
0
D
y
®
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
f
y
(
x
0
,
y
0
+
D
y
)
-
f
y
(
x
0
,
y
0
)
.
yy
0
0
D
y
®
0
D
y
Twierdzenie (Schwarza o pochodnych mieszanych)
Niech funkcja
f
b
dzie okre
lona na otoczeniu punktu
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
. Ponadto niech pochodne cz
stkowe
x
f
,
y
f
istniej
na otoczeniu punktu
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
i b
d
ci
głe w punkcie
P
=
0
(
x
0
,
y
0
)
. Wówczas
f
xy
(
P
0
)
=
f
yx
(
P
0
)
.
Zadanie 1
.
Obliczy
pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
sin
x
×
cos
y
.
y
x
Rozwi
zanie
Zastosujemy wzór na pochodn
iloczynu funkcji. Pochodn
cz
stkow
wzgl
dem
x
liczymy tak jak zwykł
pochodn
funkcji jednej zmiennej
x
, przy czym zmienn
y
traktujemy jako stały parametr.
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
Å
Æ
sin
x
Õ
Ö
×
cos
y
+
sin
x
×
¶
Å
Æ
cos
y
Õ
Ö
=
1
cos
x
×
cos
y
-
y
sin
x
×
sin
y
;
¶
x
¶
x
y
x
y
¶
x
x
y
y
x
2
y
x
x
Pochodn
cz
stkow
wzgl
dem
y
liczymy tak jak zwykł
pochodn
funkcji jednej zmiennej
y
, przy czym zmienn
x
traktujemy jako stały parametr.
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
Å
Æ
sin
x
Õ
Ö
×
cos
y
+
sin
x
×
¶
Å
Æ
cos
y
Õ
Ö
=
-
x
cos
x
×
cos
y
-
1
sin
x
×
sin
y
.
¶
y
¶
y
y
x
y
¶
y
x
2
y
x
x
y
x
y
Zadanie 2.
Obliczy
pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
tg
y
.
x
Rozwi
zanie
¶
f
(
x
,
y
)
=
Æ
tg
y
Ö
=
1
×
Æ
y
Ö
=
-
y
;
¶
x
x
y
x
y
2
2
2
x
cos
x
x
cos
x
x
¶
f
(
x
,
y
)
=
Æ
tg
y
Ö
=
1
×
Æ
y
Ö
=
1
.
¶
y
x
y
x
y
y
cos
2
y
x
cos
2
x
x
Zadanie 3.
Oblicz pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln
tg
x
.
y
Rozwi
zanie
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
121
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
¶
f
(
x
,
y
)
=
Å
Æ
lntg
x
Õ
Ö
=
1
×
Å
Æ
tg
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
1
=
2
;
¶
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
2
x
x
tg
x
tg
cos
2
x
tg
cos
2
y
sin
y
y
y
y
y
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
Å
Æ
lntg
x
Õ
Ö
=
1
×
Å
Æ
tg
x
Õ
Ö
=
1
×
1
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
1
×
1
×
-
x
=
-
2
x
.
x
x
x
x
x
2
2
x
¶
y
y
y
y
y
y
tg
y
tg
cos
2
y
tg
cos
2
y
2
sin
y
y
y
y
y
y
Zadanie 4.
Oblicz pochodne cz
stkowe (w dowolnym punkcie dziedziny) funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln(
x
+
ln
y
)
.
¶
f
(
x
,
y
)
=
(
ln(
x
+
ln
y
)
)
=
1
×
(
x
+
ln
y
)
=
1
;
¶
x
x
x
+
ln
y
x
x
+
ln
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
(
ln(
x
+
ln
y
)
)
=
1
(
x
+
ln
y
)
=
1
.
¶
y
y
x
+
ln
y
y
y
+
(
x
ln
y
)
Zadanie 5.
Oblicz pochodne cz
stkowe funkcji
f
(
x
,
y
)
= arcsin
(
2
x
-
3
+
9
-
x
2
-
y
2
.
Zadanie 6.
1
-
x
2
+
y
2
Oblicz pochodne cz
stkowe funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln
.
1
+
x
2
+
y
2
Zadanie 7.
Oblicz pochodne cz
stkowe drugiego rz
du funkcji
f
(
x
,
y
)
=
arcsin
(
xy
)
.
Rozwi
zanie
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Ä
y
Ô
xy
3
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
Å
Õ
2
¶
x
¶
x
¶
x
(
)
3
¶
x
Æ
1
-
(
xy
)
2
Ö
1
-
(
xy
)
2
¶
f
=
1
×
(
xy
)
=
y
;
x
¶
x
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Å
Æ
y
Õ
Ö
1
=
Æ
Ö
=
=
¶
y
¶
x
¶
y
¶
x
¶
y
(
)
3
2
1
-
(
xy
)
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Å
Æ
x
Õ
Ö
1
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
(
)
3
¶
x
¶
y
¶
x
¶
y
¶
x
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
f
=
1
×
(
xy
)
=
x
y
¶
y
1
-
(
xy
)
2
1
-
(
xy
)
2
¶
2
f
¶
Ä
¶
f
Ô
¶
Ä
x
Ô
x
3
y
=
Å
Æ
Õ
Ö
=
=
.
Å
Õ
2
¶
y
¶
y
¶
y
(
)
3
¶
y
1
-
(
xy
)
2
Æ
Ö
1
-
(
xy
)
2
Zadanie 8.
Oblicz pochodne cz
stkowe drugiego rz
du funkcji
f
(
x
,
y
)
=
ln(
x
+
x
2
+
y
2
)
.
Rozwi
zanie
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 12.
122
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
×
Ä
Ô
×
Å
Õ
Ä
Ô
Ä
Ô
Å
Õ