Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Proszę rozważyć następującą grę w postaci strategicznej:
Gracz 2
L
P
Gracz 1
G
0, 0
-K, 5
D
K, 10
5, 0
Przyjmijmy, że gracz 1 zna wartość K, gracz 2 natomiast nie wie, ile wynosi K, ale wie, że z równym prawdopodobieństwem może ono wynosić 10 lub –10. Proszę zamienić tę grę z niekompletną informacją na grę z niepełną informacją (i posunięciem losowym), przedstawić jej postać rozwniętą, postać strategiczną i znaleźć Bayesowskie równowagi Nasha.
Rozwiązanie
Gracze grają z prawdopodobieństwem ½ w grę
Gracz 2
L
P
Gracz 1
G
0, 0
-10, 5
D
10, 10
5, 0
lub z prawdopodobieństwem ½ w grę
Gracz 2
L
P
Gracz 1
G
0, 0
10, 5
D
-10, 10
5, 0
Gracz 1 wie, która gra jest rozgrywana, gracz 2 natomiast tego nie wie.
Zamieniamy powyższą sytuację na grę z niepełną informacją wprowadzając posunięcie losowe. Przed rozpoczęciem gry los wybierze z równym prawdopodobieństwem która gra zostanie rozegrana – decyzję losu pozna gracz 1, ale nie gracz 2. Proszę również zauważyć, że w obu powyższych grach gracze wykonują posunięcie równocześnie – gdyby było inaczej postać strategiczna musiałaby być bardziej rozbudowana, bo gracze mogliby uzależniać swoją decyzję od zaobserwowanego zachowania przeciwnika.
Postać rozwinięta dla tej gry wygląda zatem następująco:
Los
K = 10 K = –10
p = ½ 1 – p = ½
1 1
G D G D
2 2 2 2
L P L P L P L P
(0, 0) (-10, 5) (10, 10) (5, 0) (0, 0) (10, 5) (-10, 10) (5, 0)
Aby sporządzić postać strategiczną powyższej gry zauważmy, że gracz 2 ma jeden zbiór informacyjny (a zatem dwie strategie),ale gracz 1 ma dwa zbiory informacyjne (bo zna wartość K), więc będzie miał cztery strategie – jego decyzja będzie uzależniona od tego, jaką wartość K zaobserwował. Wypłaty, które gracze uzyskują są równe wartościom oczekiwanym wypłat uzyskanych w wyniku zastosowanych strategii.
Postać strategiczna powyższej gry wygląda zatem następująco (pierwsza litera w strategii gracza 1 oznacza reakcję na K = 10, druga litera oznacza reakcję na K = –10)
Gracz 2
L
P
Gracz 1
GG
0; 0
0; 5
GD
-5; 5
-2,5; 2,5
DG
5; 5
7,5; 2,5
DD
0; 10
5; 0
Zauważmy, że DG ściśle dominuje pozostałe 3 strategie gracza 1, a zatem jeśli gracz 1 jest racjonalny, zawsze wybierze strategię DG (czyli D jeśli K = 10 i G jeśli K = ‑10). Jeśli gracz 2 jest racjonalny i wie, że gracz 1 jest racjonalny, to wie, że gracz 1 wybierze DG, a zatem sam wybierze strategię, która jest najlepszą odpowiedzią na DG, czyli L. Jedyną równowagą Nasha powyższej gry w postaci strategicznej jest zatem (uzyskana metodą eliminacji zdominowanych strategii) para strategii (DG, L) – ponieważ wszystkie inne strategii wyeliminowaliśmy przez iterację eliminacji zdominowanych strategii, gra nie może mieć innych równowag ani w strategiach czystych, ani mieszanych. Bayesowska równowaga Nasha oryginalnej gry to zatem następująca para strategii (gdzie dla gracza pierwszego strategia jest funkcją odwzorowującąjego typ (czyli znaną przez niego wartość K) w decyzję):
- gracz 1 w reakcji na K = 10 wybierze D, a w reakcji na K = –10 wybierze G;
- gracz 2 wybierze L.
Zadanie 2
Mamy dwie firmy. Firma 1 już działa na rynku i musi podjąć decyzję, czy zbudować nową fabrykę. Firma 2 musi równocześnie podjąć decyzję o tym, czy wejść na rynek i konkurować z firmą 1. Firma 1 zna swoje koszty wybudowania dodatkowej fabryki, jej kosztów nie zna jednak firma 2, wie ona jedynie, że koszty firmy 1 mogą wynieść 3 (z prawdopodobieństwem p Î (0, 1)) lub 0 (z prawdopodobieństwem 1 – p). Jeśli koszty są wysokie (równe 3) wypłaty są następujące:
...