Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 12
12. Ruch obrotowy
12.1 Wstęp
Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał.
Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddziel-
nego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielkości:
moment pędu
i
moment siły
. Zasada zachowania momen-
tu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.
12.2 Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest
przesunięcie kąto-
we
θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okrę-
gu, z definicji miary łukowej kąta θ =
S
/
R
. (w radianach).
R
S
θ
Kątową analogią prędkości
v
= d
x
/d
t
jest
prędkość kątowa
ω.
dθ
ω=
d
t
(12.1)
Dla ruchu po okręgu
v
= ω
R
.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu ω jest nazywane
częstością kątową
i jest
związana z częstotliwością
f
relacją
ω = 2π
f
Podobnie jak przyspieszenie liniowe
a
= d
v
/d
t
zostało zdefiniowane przyspieszenie ką-
towe α.
dω
α=
d
t
(12.2)
12-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy
a
i α jest analogiczny do związku pomiędzy
v
i ω tzn.
a
= α
R
. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-
niem α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
a
= const
v
=
v
0
+
at
s
=
s
0
+
v
0
t
+ (1/2)
at
2
α = const
ω = ω
0
+ α
t
θ =θ
0
+ ω
0
t
+ (1/2)α
t
2
Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego α w ruchu
obrotowym przyspieszonym (1) i opóźnionym (2) są pokazane na rysunku poniżej.
1)
2)
α
ω
ω
α
12.3 Dynamika ruchu obrotowego
12.3.1 Moment siły
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wiel-
kość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W
szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle
do nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na
ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest
moment siły
(tzw. moment obrotowy) τ.
Jeżeli siła
F
działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako
=
F
(12.3)
gdzie wektor
r
reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego ukła-
du odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna
12-2
τ
×
r
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
wynosi: τ =
rF
sinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać,
że bierzemy albo
r
⊥
albo
F
⊥
).
12.3.2 Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do
pędu. Wielkość
L
będziemy nazywać
momentem pędu
i definiujemy ją
L
×
=
r
p
(12.4)
gdzie
p
jest pędem cząstki, a
r
reprezentuje położenie cząstki względem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Wartość
L
wynosi
rp
sinθ i analogicznie do momentu siły
wielkość
r
sinθ nazywamy ramieniem pędu.
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznij-
my od znanej zależności, że siła
F
= d
p
/d
t
(dla pojedynczej cząstki). Mnożąc
wektoro-
wo
obie strony przez
r
otrzymujemy
r
×
F
=
r
×
d
p
d
t
r
× jest momentem siły τ więc
τ
×
=
r
d
p
(12.5)
d
t
Teraz przechodzimy do równania na moment pędu
L
=
r
×
p
i różniczkujemy je obu-
stronnie względem czasu, otrzymując
d
L
=
d(
r
×
p
)
=
d
r
×
p
+
r
×
d
p
d
t
d
t
d
t
d
t
ponieważ d
r
/d
t
=
v
więc
d
L
=
v
(
v
×
m
)
+
r
×
d
p
d
t
d
t
Wiemy, że
v
= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc
×
m
d
L
=
r
×
d
p
(12.6)
d
t
d
t
Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że
d
L
τ
=
d
t
(12.7)
12-3
F
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości
zmian momentu pędu tej cząstki.
12.3.3 Zachowanie momentu pędu
Dla układu
n
cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach
=
∑∑
τ
d
L
=
d
L
wypadkowy
(12.8)
i
d
t
i
d
t
i
i
Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to
moment pędu układu pozostaje stały.
d
L
wypadkowy
t
=
0
⇒
L
=
const
.
d
wypadkowy
Przykład 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone
ramiona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością
f
1
= 0.5 obrotów na se-
kundę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotli-
wość jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu,
zostają ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się
osoba ma taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi
L
h
1
= R
1
m
v
1
= R
1
m(
ω
1
R
1
) = m
ω
1
(R
1
)
2
g
dzie
m
jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc
L
1
=
L
o
1
+
m
ω
1
(
R
1
)
2
P
Dla hantli w odległości R
2
moment pędu u
onieważ
L
o
1
=
L
h
1
więc
L
o
1
=
m
ω
1
(
R
1
)
2
.
kładu wynosi
L
2
=
L
o
2
+
m
ω
2
(
R
2
)
2
S
tosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy
L
1
=
L
2
czyli:
L
o
1
+
m
ω
1
(
R
1
)
2
=
L
o
2
+
m
ω
2
(
R
2
)
2
P
amiętając, że
L
o
2
=
L
o
1
ω
2
/ω
1
ponieważ
L
∼ ω rozwiązujemy to równanie względem ω
2
12-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
ω
= ω
2
R
+
2
1
2
1
R
2
1
R
2
2
ω
2
= 1.97 ω
1
Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.
Przykład 2
Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem
F
2
= 4 N. Z jaką siłą
F
1
łańcuch musi ciągnąć zębatkę jeżeli stosunek
R
2
/
R
1
= 10?
F
1
R
1
R
2
F
2
Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc d
L
/d
t
= 0 i co za tym idzie
τ
wypadkowy
= (τ
1
- τ
2
) = 0
czyli
τ
1
= τ
2
Stąd
R
1
F
1
=
R
2
F
2
więc
F
1
= (
R
2
/
R
1
)
F
2
= 40N
12.4 Ciała sztywne i moment bezwładności
Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą
wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozu-
miemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa ω wokół
stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają róż-
ną prędkość liniową
v
chociaż tą samą kątową ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy po-
dzielić na elementy o masie ∆
m
i
odległe od osi obrotu o
r
i
. Wtedy prędkość takiego
elementu wynosi
v
i
=
r
i
ω.
12-5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Wykład 12
12. Ruch obrotowy
12.1 Wstęp
Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał.
Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddziel-
nego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielkości:
moment pędu
i
moment siły
. Zasada zachowania momen-
tu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.
12.2 Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest
przesunięcie kąto-
we
θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okrę-
gu, z definicji miary łukowej kąta θ =
S
/
R
. (w radianach).
R
S
θ
Kątową analogią prędkości
v
= d
x
/d
t
jest
prędkość kątowa
ω.
dθ
ω=
d
t
(12.1)
Dla ruchu po okręgu
v
= ω
R
.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu ω jest nazywane
częstością kątową
i jest
związana z częstotliwością
f
relacją
ω = 2π
f
Podobnie jak przyspieszenie liniowe
a
= d
v
/d
t
zostało zdefiniowane przyspieszenie ką-
towe α.
dω
α=
d
t
(12.2)
12-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy
a
i α jest analogiczny do związku pomiędzy
v
i ω tzn.
a
= α
R
. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-
niem α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
a
= const
v
=
v
0
+
at
s
=
s
0
+
v
0
t
+ (1/2)
at
2
α = const
ω = ω
0
+ α
t
θ =θ
0
+ ω
0
t
+ (1/2)α
t
2
Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego α w ruchu
obrotowym przyspieszonym (1) i opóźnionym (2) są pokazane na rysunku poniżej.
1)
2)
α
ω
ω
α
12.3 Dynamika ruchu obrotowego
12.3.1 Moment siły
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wiel-
kość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W
szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle
do nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na
ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest
moment siły
(tzw. moment obrotowy) τ.
Jeżeli siła
F
działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako
=
F
(12.3)
gdzie wektor
r
reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego ukła-
du odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna
12-2
τ
×
r
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
wynosi: τ =
rF
sinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać,
że bierzemy albo
r
⊥
albo
F
⊥
).
12.3.2 Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do
pędu. Wielkość
L
będziemy nazywać
momentem pędu
i definiujemy ją
L
×
=
r
p
(12.4)
gdzie
p
jest pędem cząstki, a
r
reprezentuje położenie cząstki względem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Wartość
L
wynosi
rp
sinθ i analogicznie do momentu siły
wielkość
r
sinθ nazywamy ramieniem pędu.
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznij-
my od znanej zależności, że siła
F
= d
p
/d
t
(dla pojedynczej cząstki). Mnożąc
wektoro-
wo
obie strony przez
r
otrzymujemy
r
×
F
=
r
×
d
p
d
t
r
× jest momentem siły τ więc
τ
×
=
r
d
p
(12.5)
d
t
Teraz przechodzimy do równania na moment pędu
L
=
r
×
p
i różniczkujemy je obu-
stronnie względem czasu, otrzymując
d
L
=
d(
r
×
p
)
=
d
r
×
p
+
r
×
d
p
d
t
d
t
d
t
d
t
ponieważ d
r
/d
t
=
v
więc
d
L
=
v
(
v
×
m
)
+
r
×
d
p
d
t
d
t
Wiemy, że
v
= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc
×
m
d
L
=
r
×
d
p
(12.6)
d
t
d
t
Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że
d
L
τ
=
d
t
(12.7)
12-3
F
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości
zmian momentu pędu tej cząstki.
12.3.3 Zachowanie momentu pędu
Dla układu
n
cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach
=
∑∑
τ
d
L
=
d
L
wypadkowy
(12.8)
i
d
t
i
d
t
i
i
Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to
moment pędu układu pozostaje stały.
d
L
wypadkowy
t
=
0
⇒
L
=
const
.
d
wypadkowy
Przykład 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone
ramiona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością
f
1
= 0.5 obrotów na se-
kundę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotli-
wość jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu,
zostają ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się
osoba ma taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi
L
h
1
= R
1
m
v
1
= R
1
m(
ω
1
R
1
) = m
ω
1
(R
1
)
2
g
dzie
m
jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc
L
1
=
L
o
1
+
m
ω
1
(
R
1
)
2
P
Dla hantli w odległości R
2
moment pędu u
onieważ
L
o
1
=
L
h
1
więc
L
o
1
=
m
ω
1
(
R
1
)
2
.
kładu wynosi
L
2
=
L
o
2
+
m
ω
2
(
R
2
)
2
S
tosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy
L
1
=
L
2
czyli:
L
o
1
+
m
ω
1
(
R
1
)
2
=
L
o
2
+
m
ω
2
(
R
2
)
2
P
amiętając, że
L
o
2
=
L
o
1
ω
2
/ω
1
ponieważ
L
∼ ω rozwiązujemy to równanie względem ω
2
12-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
ω
= ω
2
R
+
2
1
2
1
R
2
1
R
2
2
ω
2
= 1.97 ω
1
Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.
Przykład 2
Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem
F
2
= 4 N. Z jaką siłą
F
1
łańcuch musi ciągnąć zębatkę jeżeli stosunek
R
2
/
R
1
= 10?
F
1
R
1
R
2
F
2
Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc d
L
/d
t
= 0 i co za tym idzie
τ
wypadkowy
= (τ
1
- τ
2
) = 0
czyli
τ
1
= τ
2
Stąd
R
1
F
1
=
R
2
F
2
więc
F
1
= (
R
2
/
R
1
)
F
2
= 40N
12.4 Ciała sztywne i moment bezwładności
Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą
wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozu-
miemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa ω wokół
stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają róż-
ną prędkość liniową
v
chociaż tą samą kątową ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy po-
dzielić na elementy o masie ∆
m
i
odległe od osi obrotu o
r
i
. Wtedy prędkość takiego
elementu wynosi
v
i
=
r
i
ω.
12-5