12. Renty pewne-cz3, EKONOMETRIA

Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
3.3. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG
GEOMETRYCZNY
1
, R
2
, . . . , R
n
- kolejne raty renty
{R
j
} – ciąg geometryczny
R
j
=
R
1
q
j-1
(66)
gdzie:
q – iloraz ciągu, R
1
>0 – pierwsza rata
q > 1 – ciąg R
j
rosnący,
q=1 – ciąg R
j
stały
0<q <1 – ciąg R
j
malejący
Wartość początkowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R
(0)
= R
1
v+R
2
v
2
+R
3
v
3
+ ... +R
n
v
n
R
(0)
= R
1
v+ R
1
qv
2
+ R
1
q
2
v
3
+ ...+ R
1
q
n-1
v
n
R
(0)
=R
1
v(1+(qv)+ (qv)
2
+ ...+ (qv)
n-1
Dla q=1+i ⇒ qv=1
R
(
0
)
=
nR
v
dla q=1+i
(67)
1
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
35
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Dla q≠1+v
(
0
)
1
−
(
qv
)
n
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
v
⋅
=
R
(
+
i
)
1
1
−
(
qv
)
1
(
+
i
)
−
q
(
0
)
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
(
+
i
)
dla q≠1+i
(68)
1
(
+
i
)
−
q
gdzie: R
(0)
- wartość początkowa renty geometrycznej
Wartość końcowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R
(n)
= R
1
(1+i)
n-1
+ R
2
(1+i)
n-2
+ ... + R
n
R
(n)
= R
1
(1+i)
n-1
+ R
1
q(1+i)
n-2
+ R
1
q
2
(1+i)
n-3
+... + R
1
q
n-1
⎡
q
⎛
q
⎞
2
⎛
q
⎞
n
−
1
⎤
(
n
)
n
−
1
R
=
R
(
+
i
)
⎢
⎣
1
+
+
⎝
⎠
+
...
+
⎝
⎠
⎥
⎦
1
1
+
i
1
+
i
1
+
i
⎢
⎥
Dla q=1+i
R
(n)
= nR
1
(1+i)
n-1
(69)
Dla q≠1+i
⎛
q
⎞
n
1
−
⎝
⎠
1
+
i
(
+
i
)
n
−
q
n
(
n
)
n
−
1
R
=
R
(
+
i
)
=
R
1
q
1
1
+
i
−
q
1
−
1
+
i
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
36
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Dla q≠1+i
(
n
)
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
(70)
1
1
+
i
−
q
Wartość początkowa renty geometrycznej nieskończonej
Założenie: 0<q<1+i
⇒
q
<
1
1
+
i
⎛
q
⎞
n
lim
⎝
⎠
=
0
n
→
1
+
i
(
0
)
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
lim
R
(
+
i
)
∞
1
1
+
i
−
q
n
→
⎛
q
⎞
n
1
−
⎝
⎠
1
+
i
R
R
(
0
)
=
lim
R
=
1
∞
1
1
+
i
−
q
1
+
i
−
q
n
→
R
(
0
)
=
R
1
(71)
∞
1
+
i
−
q
q:= 1+r gdzie r – stopa wzrostu renty geometrycznej
R
(
0
)
=
R
1
(72)
∞
i
−
r
gdzie: q – iloraz renty geometrycznej nieskończonej
r – stopa wzrostu renty geometrycznej nieskończonej
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
37
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 11.
(Model stałego wzrostu dywidendy– model Gordona – Shapiro)
Rozważmy akcję zwykłą, którą inwestor zamierza trzymać
bezterminowo. Rynkowa stopa zwrotu wynosi 20%. Spólka
wypłaciła dywidendę w wysokości 100zł. Zakładamy, że spół-
ka będzie się rozwijać w stałym tempie, co spowoduje wzrost
dywidendy w stałym tempie 10% rocznie. Wycenić akcje spół-
ki.
1
= 100(1+0,1) = 110 zł
R
(
0
)
=
100
(
+
0
=
110
=
1100
zł
∞
0
2
−
0
0
P
=
D
(
+
r
)
(73)
i
−
r
gdzie: P – cena akcji
D – wypłacona dywidenda
r – zakładana stopa wzrostu dywidendy
i – wymagana stopa zwrotu inwestora
☺☺☺☺☺☺☺☺
Stan funduszu emerytalnego dla renty geometrycznej (q≠1+i)
n
= E(1+i)
n
– R
(n)
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
38
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
n
(
+
i
)
n
−
q
n
E
=
E
(
+
i
)
−
R
(74)
n
1
1
+
i
−
q
gdzie: E
n
– stan funduszu po n wypłatach
1
– pierwsza rata renty geometrycznej
i – tempo wzrostu wartości kapitału (stopa procentowa)
q – iloraz renty geometrycznej
n – liczba wypłaconych rat renty.
3.4. RENTA UOGÓLNIONA
Niezgodność okresów:
Stopy procentowej, kapitalizacji, renty (wpłat, wypłat)
Uzgadniamy do okresu renty.
Renta stała niezgodna (uogólniona)
R
(
0
)
=
Ra
R
(
n
)
=
Rs
(renta zgodna)
n
i
n
i
a) okres renty = okres kapitalizacji
≠
okresu stopy procentowej
Uzgodnienie
renty
polega na wprowadzaniu stopy względnej
i
(
m
)
- kapitalizacja w podokresach stopy procentowej
m
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
39

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

hannaeva.xlx.pl