Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
RÓWNANIA RÓNICZKOWE ZWYCZAJNE
– PROBLEM BRZEGOWY
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE
Budownictwo,studiaIstopnia,semestrIII
rokakademicki2011/2012
InstytutL-5,WydziałIn»ynieriiL¡dowej,PolitechnikaKrakowska
EwaPabisek
AdamWosatko
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Równaniaró»niczkowezwyczajne
Równaniaró»niczkowezwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
F
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
y
(
k
)
d
k
y
(
x
)
dx
k
,
k
=
1
,
1
,
2
,...,
n
,
w którym jako niewiadoma wyst¦puje funkcja tylko jednej zmiennej nieza-
le»nej
y
(
x
)
oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne
y
(
k
)
(
x
)
,
0
<
k
¬
n
nazywamy
równaniemró»niczkowymzwyczajnym
rz¦du
n
.
Oprócz pojedynczych równa« wyst¦puj¡ równie» układy takich równa«:
F
1
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
F
2
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
···························
F
n
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
.
Pojedyncze równania ró»niczkowe (lub ich układy) opisuj¡ ró»ne zjawiska i pro-
cesy zachodz¡ce w modelach fizycznych. Mimo tej ró»norodno±ci wyst¦puj¡
tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problempocz¡tkowy
,
problembrzegowy
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Metodyrozwi¡zywaniazagadnieniabrzegowego
Zajmiemy si¦ poszukiwaniem takich funkcji
y
(
x
)
,
które s¡ rozwi¡zaniem równania rz¦du conajmniej drugiego,
funkcji okre±lonych na przedziale
(
a
,
b
)
i zdefiniowanych
n
warunkami, z których jedne dotycz¡ punktu
a
, a
inne – punktu
b
.
W celu znalezienia rozwi¡zania zagadnienia mo»na zastosowa¢:
metod¦ strzału – problem brzegowy zast¦puj¦my problemem
pocz¡tkowym wraz z odpowiedni¡ zamian¡ warunku brzegowego na
warunek pocz¡tkowy i funkcj¦ uwzgl¦dniaj¡c¡ ustalon¡ warto±¢
brzegow¡,
metod¦ ró»nic sko«czonych
, zwan¡ tak»e metod¡
ró»nicow¡
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Metodaró»nicowa
Bardzo prosta matematycznie, od dawna znana metoda.
Zasad¡ tej metody jest obliczanie przybli»e« pochodnych za pomoc¡
tzw.
wzorówró»nicowych
.
Posługujemy si¦ sko«czonym zbiorem w¦złów siatki ró»nicowej
zamiast obszarem (jedno- lub dwuwymiarowym).
Rozwi¡zaniem problemu b¦dzie zbiór dyskretnych warto±ci
w¦złowych poszukiwanej funkcji, a nie jej reprezentacja w postaci
funkcji ci¡głej, zdefiniowanej w całym obszarze.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Centralnewzoryró»nicowe
dlazagadnieniajednowymiarowego
1 2 3
4 5 6 7
i-2 i-1 i+1
i
i+2
i-2 i-1 i i+1 i+2
1
2
h
f
I
-1 0 1
f
II
1
h
2
1
1
-2
f
III
1
2
h
3
-1 2 0 -2
1
1
f
IV
1
h
4
-4
1
1 -4 6
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
RÓWNANIA RÓNICZKOWE ZWYCZAJNE
– PROBLEM BRZEGOWY
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE
Budownictwo,studiaIstopnia,semestrIII
rokakademicki2011/2012
InstytutL-5,WydziałIn»ynieriiL¡dowej,PolitechnikaKrakowska
EwaPabisek
AdamWosatko
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Równaniaró»niczkowezwyczajne
Równaniaró»niczkowezwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
F
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
y
(
k
)
d
k
y
(
x
)
dx
k
,
k
=
1
,
1
,
2
,...,
n
,
w którym jako niewiadoma wyst¦puje funkcja tylko jednej zmiennej nieza-
le»nej
y
(
x
)
oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne
y
(
k
)
(
x
)
,
0
<
k
¬
n
nazywamy
równaniemró»niczkowymzwyczajnym
rz¦du
n
.
Oprócz pojedynczych równa« wyst¦puj¡ równie» układy takich równa«:
F
1
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
F
2
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
,
···························
F
n
(
x
,
y
,
y
0
,
y
00
,...,
y
n
)=
0
.
Pojedyncze równania ró»niczkowe (lub ich układy) opisuj¡ ró»ne zjawiska i pro-
cesy zachodz¡ce w modelach fizycznych. Mimo tej ró»norodno±ci wyst¦puj¡
tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problempocz¡tkowy
,
problembrzegowy
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Metodyrozwi¡zywaniazagadnieniabrzegowego
Zajmiemy si¦ poszukiwaniem takich funkcji
y
(
x
)
,
które s¡ rozwi¡zaniem równania rz¦du conajmniej drugiego,
funkcji okre±lonych na przedziale
(
a
,
b
)
i zdefiniowanych
n
warunkami, z których jedne dotycz¡ punktu
a
, a
inne – punktu
b
.
W celu znalezienia rozwi¡zania zagadnienia mo»na zastosowa¢:
metod¦ strzału – problem brzegowy zast¦puj¦my problemem
pocz¡tkowym wraz z odpowiedni¡ zamian¡ warunku brzegowego na
warunek pocz¡tkowy i funkcj¦ uwzgl¦dniaj¡c¡ ustalon¡ warto±¢
brzegow¡,
metod¦ ró»nic sko«czonych
, zwan¡ tak»e metod¡
ró»nicow¡
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Metodaró»nicowa
Bardzo prosta matematycznie, od dawna znana metoda.
Zasad¡ tej metody jest obliczanie przybli»e« pochodnych za pomoc¡
tzw.
wzorówró»nicowych
.
Posługujemy si¦ sko«czonym zbiorem w¦złów siatki ró»nicowej
zamiast obszarem (jedno- lub dwuwymiarowym).
Rozwi¡zaniem problemu b¦dzie zbiór dyskretnych warto±ci
w¦złowych poszukiwanej funkcji, a nie jej reprezentacja w postaci
funkcji ci¡głej, zdefiniowanej w całym obszarze.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY
Wprowadzenie
Zagadnieniabrzegowe
Problemzginaniabelki
Metodaró»nicowa
Centralnewzoryró»nicowe
dlazagadnieniajednowymiarowego
1 2 3
4 5 6 7
i-2 i-1 i+1
i
i+2
i-2 i-1 i i+1 i+2
1
2
h
f
I
-1 0 1
f
II
1
h
2
1
1
-2
f
III
1
2
h
3
-1 2 0 -2
1
1
f
IV
1
h
4
-4
1
1 -4 6
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNE–PROBLEMBRZEGOWY