Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Matematyka A, kolokwium dodatkowe, 9 maja 2012, 17:05 – 19:00
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elektro-
nicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (3 pt.)
Udowodnic, ze dla kazdej pary liczb calkowitych
a,b
istnieje taka para liczb wymiernych
−
6
x
y
a
b
5
x,y
, ze zachodzi rownosc:
=
. Jakie liczby dodatnie moga
,
byc
−
7
6
mianownikami liczb
x
,
y
zapisanych w postaci ulamkow nieskracalnych?
−
6
5
(2 pt.)
Znalezc wartosci wlasne macierzy
.
−
7
6
−
6
−
1
5
(2 pt.)
Znalezc macierz
i jej wartosci oraz wektory wlasne.
−
7
6
1
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
=
3
k
v
k
?
(2 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 333
k
v
k
?
(1 pt.)
0
1
1
0
1
0
0
−
1
0
−
1
@
A
.
2.
Niech
A
=
−
1
0
1
0
0
−
1
0
1
(2 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
−
1
.
(2 pt.)
Znalezc wartosci i
wszystkie
wektory wlasne macierzy
A
4
,
A
8
i macierzy
A
2008
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
A
8
i
A
2008
.
(2 pt.)
Niech
A
T
be
,
dzie macierza
,
transponowa
,
do
A
. Obliczyc
A
·
A
T
.
(2 pt.)
0
1
0
1
8
2
−
8
6
2
5
@
A
,
v
=
@
A
3.
Niech
M
=
−
1
0
2
8
1
−
8
(2 pt.)
Obliczyc
M
·
v
.
(3 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
3
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
M
−
3
i
M
2011
.
(3 pt.)
Znalezc rozwia
,
zanie ogolne rownania
x
0
(
t
) +
x
(
t
) =
x
(
t
)
3
4. (10 pt.)
oraz takie rozwia
,
zanie szcze-
golne
x
, ze
x
(1) =
−
1
.
5. (10 pt.)
Znalezc wszystkie takie
dodatnie
funkcje
f
zmiennej
x
2
(0
,
1
) , ze pozioma wspolrze
,
dna
punktu, w ktorym styczna do wykresu funkcji
f
w punkcie (
x,f
(
x
)) przecina os
OX
jest
rowna
3
.
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elektro-
nicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (3 pt.)
Udowodnic, ze dla kazdej pary liczb calkowitych
a,b
istnieje taka para liczb wymiernych
−
6
x
y
a
b
5
x,y
, ze zachodzi rownosc:
=
. Jakie liczby dodatnie moga
,
byc
−
7
6
mianownikami liczb
x
,
y
zapisanych w postaci ulamkow nieskracalnych?
−
6
5
(2 pt.)
Znalezc wartosci wlasne macierzy
.
−
7
6
−
6
−
1
5
(2 pt.)
Znalezc macierz
i jej wartosci oraz wektory wlasne.
−
7
6
1
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
=
3
k
v
k
?
(2 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 333
k
v
k
?
(1 pt.)
0
1
1
0
1
0
0
−
1
0
−
1
@
A
.
2.
Niech
A
=
−
1
0
1
0
0
−
1
0
1
(2 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
−
1
.
(2 pt.)
Znalezc wartosci i
wszystkie
wektory wlasne macierzy
A
4
,
A
8
i macierzy
A
2008
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
A
8
i
A
2008
.
(2 pt.)
Niech
A
T
be
,
dzie macierza
,
transponowa
,
do
A
. Obliczyc
A
·
A
T
.
(2 pt.)
0
1
0
1
8
2
−
8
6
2
5
@
A
,
v
=
@
A
3.
Niech
M
=
−
1
0
2
8
1
−
8
(2 pt.)
Obliczyc
M
·
v
.
(3 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
3
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
M
−
3
i
M
2011
.
(3 pt.)
Znalezc rozwia
,
zanie ogolne rownania
x
0
(
t
) +
x
(
t
) =
x
(
t
)
3
4. (10 pt.)
oraz takie rozwia
,
zanie szcze-
golne
x
, ze
x
(1) =
−
1
.
5. (10 pt.)
Znalezc wszystkie takie
dodatnie
funkcje
f
zmiennej
x
2
(0
,
1
) , ze pozioma wspolrze
,
dna
punktu, w ktorym styczna do wykresu funkcji
f
w punkcie (
x,f
(
x
)) przecina os
OX
jest
rowna
3
.