14-wyklad calki podwojne, BUDOWNICTWO, Skrypty-budownictwo, Matematyka, Wykłady

48
Całka podwójna na prostok
cie
Niech
f
:
R
2
®
R
b
dzie funkcj
okre
lon
i ograniczon
w prostok
cie
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
.
Podzielmy prostok
t
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
na dowoln
liczb
prostok
tów
P
,
1
£
i
£
n
, o rozł
cznych wn
trzach
(linie podziałów s
równoległe do osi układu). Oznaczmy ten podział przez P.
Niech
(
x
1
,
h
1
)
,
(
x
2
,
h
2
)
, ... ,
(
x
n
,
h
n
)
oznaczaj
punkty wybrane dowolnie, po jednym z ka
dego prostok
ta:
w
(
P
)
=
{
(
x
i
,
h
i
)
:
(
x
i
,
h
i
)
Î
P
i
,
i
=
1
2
,...,
n
}
Utwórzmy sum
S
(
P
,
w
(
P
)
)
=
f
(
x
1
,
h
1
)
×
|
P
1
|
+
f
(
x
2
,
h
2
)
×
|
P
2
|
+
...
+
f
(
x
n
,
h
n
)
×
|
P
n
|
.
Sum
t
nazywa si
sum
Riemanna funkcji
f
odpowiadaj
c
podziałowi P przedziału
[
b
a
i wyborowi w(P)
,
]
punktów po
rednich.
Znaczenie geometryczne sumy
(
S
P
, P
w
(
)
)
jest oczywiste, gdy funkcja
f
jest w prostok
cie
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
nieujemna. Wówczas iloczyn
f
(
x
i
,
h
i
)
×
|
P
i
|
jest obj
to
ci
prostopadło
cianu o podstawie
|
P
i wysoko
ci
|
f
(
x
i
,
h
i
)
.
Suma
(
S
P
, P
(
)
)
jest sum
obj
to
ci prostopadło
cianów o podstawach
|
P
,
|
|
P
,...,
|
|
P
i wysoko
ciach
|
f
(
x
1
,
h
1
)
,
f
(
x
2
,
h
2
)
, ... ,
f
(
x
n
h
n
)
.
Długo
najwi
kszej przek
tnej prostok
ta wchodz
cego w skład podziału P oznaczamy d(P) i nazywamy
rednic
podziału
P
.
Definicja.
Je
li istnieje liczba
I
taka,
e ró
nica
|
S
(
P
,
w
(
P
)
)
|
-
I
jest dowolnie mała dla dostatecznie „drobnych” podziałów P i to niezale
nie od wyboru w(P) punktów po
rednich, to
liczb
I
nazywa si
całk
oznaczon
funkcji
f
na prostok
cie
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
i oznacza symbolem
Ð
P
f
(
x
,
y
)
dx
.
Je
li istnieje
Ð
P
f
(
x
,
y
)
dx
, to mówimy,
e
funkcja
f
jest całkowalna w sensie Riemanna
w prostok
cie
P
.
Definicja.
Je
eli funkcja
f
jest ci
gła w prostok
cie
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
, to całki
b
d
b
Ä
d
Ô
d
b
d
Ä
b
Ô
Ð Ð
Ð Ð
Å
Æ
Õ
Ö
Ð Ð
Ð Ð
Å
Æ
Õ
Ö
dx
f
(
x
,
y
)
dy
=
f
(
x
,
y
)
dy
dx
,
dy
f
(
x
,
y
)
dx
=
f
(
x
,
y
)
dx
dy
a
c
a
c
c
a
c
a
nazywa si
całkami iterowanymi.
Twierdzenie Fubiniego.
Je
eli funkcja
f
jest ci
gła w prostok
cie
P
=
[
a
,
b
]
´
[
c
,
d
]
, to istniej
całki iterowane i zachodz
zale
no
ci
b
d
d
b
ÐÐ
f
(
x
,
y
)
dx
dy
=
Ð Ð
dx
f
(
x
,
y
)
dy
,
ÐÐ
f
(
x
,
y
)
dx
dy
=
Ð Ð
dy
f
(
x
,
y
)
dx
P
a
c
P
c
a
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 14.
w
,
1.
Przykład.
Oblicz
ÐÐ
(
x
3
-
2
xy
+
6
dx
dy
,
P
=
[
2
´
[
-
1
4
.
P
2
4
2
[
]
=
2
ÐÐ
(
x
3
-
2
xy
+
6
dx
dy
=
Ð Ð
dx
(
x
3
-
2
xy
+
6
dy
=
Ð
x
3
y
-
xy
2
+
6
y
y
y
=
4
dx
Ð
(
x
3
-
15
x
+
30
)
dx
=
105
=
-
1
4
P
1
-
1
1
1
2.
Przykład.
Oblicz
ÐÐ
(
x
cos
y
+
y
sin
x
)
dx
dy
,
P
=
[
0
p
]
´
[
0
p
]
.
P
1
p
1
p
1
p
1
p
2
2
2
[
]
=
2
p
ÐÐ
Ð Ð
Ð
y
y
=
=
Ð
(
x
cos
y
+
y
sin
x
)
dx
dy
=
dx
(
x
cos
y
+
y
sin
x
)
dy
=
x
sin
y
+
1
y
2
sin
x
2
dx
(
x
+
1
p
2
sin
x
)
dx
=
1
p
2
2
0
8
4
P
0
0
0
0
3.
Przykład.
Oblicz
ÐÐ
(
x
2
cos
y
+
y
2
sin
x
)
dx
dy
,
P
=
[
0
p
]
´
[
0
p
]
.
2
2
P
1
p
1
p
1
p
2
2
2
[
]
=
y
y
=
=
p
ÐÐ
Ð Ð
Ð
(
x
2
cos
y
+
y
2
sin
x
)
dx
dy
=
dx
(
x
2
cos
y
+
y
2
sin
x
)
dy
=
x
2
sin
y
+
1
y
3
sin
x
2
dx
3
0
P
0
0
0
1
p
2
=
Ð
(
x
2
+
1
p
3
sin
x
)
dx
=
1
p
3
24
12
0
48
Całka podwójna na obszarze normalnym
Definicja.
Zbiór
D
Ì
R
2
nazywa si
obszarem normalnym
wzgl
dem osi odci
tych, je
li mo
na okre
li
go nast
puj
co:
D
=
{(
x
,
y
)
:
a
£
x
£
b
,
j
(
x
)
£
y
£
y
(
x
)}
gdzie funkcje j i y s
ci
głe w [
a
,
b
] i
j
(
x
y
)
£
(
x
)
dla wszystkich
x
Î
[
b
a
,
]
.
Fakt.
Je
eli funkcja
f
jest ci
gła i ograniczona w obszarze normalnym
D
=
{(
x
,
y
)
:
a
£
x
£
b
,
j
(
x
)
£
y
£
y
(
x
)}
, to
b
y
(
x
)
ÐÐ
Ð Ð
f
(
x
,
y
)
dx
dy
=
dx
f
(
x
,
y
)
dy
D
a
j
(
x
)
4.
Przykład.
Oblicz
ÐÐ
(
x
2
y
+
4
xy
+
y
2
x
)
dx
dy
, gdzie
D
jest obszarem ograniczonym krzywymi
y
=
x
2
-
2
x
,
D
y
2
=
x
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 14.
2
2
D
:
0
£
x
£
4
,
x
2
-
2
x
£
y
£
2
x
4
2
x
4
[
]
ÐÐ
(
x
2
y
+
4
xy
+
xy
2
)
dx
dy
=
Ð Ð
dx
(
x
2
y
+
4
xy
+
xy
2
)
dy
=
Ð
1
x
2
y
2
+
2
xy
2
+
1
xy
3
y
=
2
x
dy
=
2
3
y
=
x
2
-
2
x
D
0
x
2
-
2
x
0
4
=
Ð
(
-
1
x
7
+
3
x
6
-
4
x
5
+
40
x
4
)
dx
=
16384
=
780
19
04
761
3
2
3
21
0
5.
Przykład.
Oblicz pole obszaru
D
ograniczonego krzywymi
y
=
2
x
2
,
y
=
x
2
+
1
.
D
:
-
1
£
x
£
1
,
2
x
2
£
y
£
x
2
+
1
1
x
2
+
1
1
1
|
D
|
=
ÐÐ
dx
dy
=
Ð Ð
dx
dy
=
Ð
[ ]
y
y
=
=
x
2
+
1
dx
=
Ð
(
-
x
2
)
dx
=
4
y
2
x
2
3
D
-
1
2
x
2
-
1
-
1
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki
–
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 14.
,

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

hannaeva.xlx.pl