Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Ć
wiczenie 14
Wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1.
Tarcie statyczne i dynamiczne.
2.
Ruch obrotowy bryły sztywnej.
3.
Ruch harmoniczny tłumiony.
II. Wprowadzenie
Zjawisko wyst
ę
powania oporów podczas ruchu ciała stałego nazywamy tarciem.
Tarcie pojawia si
ę
przy poruszaniu si
ę
ciała w cieczy lub gazie i wtedy nazywamy je
tarciem wewn
ę
trznym (lepko
ś
ci
ą
), jak równie
Ŝ
przy kontakcie ciała z powierzchni
ą
innego ciała stałego (tarcie zewn
ę
trzne), a wtedy w zale
Ŝ
no
ś
ci od tego, czy ciała
przylegaj
ą
bez ruchu,
ś
lizgaj
ą
si
ę
lub tocz
ą
jedne po drugich, mówimy o tarciu
przylegania, tarciu przy po
ś
lizgu i tarciu przy toczeniu.
Siła tarcia wewn
ę
trznego (oporu lepkiego) jest przeciwnie skierowana do
pr
ę
dko
ś
ci ruchu ciała i zale
Ŝ
y od lepko
ś
ci cieczy oraz rozmiaru i kształtu ciała oraz od
warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci, do której jest wprost proporcjonalna:
F
o
=
-
b
v
,
(1)
gdzie
b
jest współczynnikiem oporu lepkiego, zale
Ŝ
nym od lepko
ś
ci cieczy oraz
rozmiaru i kształtu ciała.
Tarcie zewn
ę
trzne polega na powstawaniu oporu w płaszczy
ź
nie zetkni
ę
cia,
podczas ruchu wzgl
ę
dnego dwóch stykaj
ą
cych si
ę
ciał.
Wyró
Ŝ
niamy sił
ę
tarcia przy po
lizgu, wyst
ę
puj
ą
c
ą
podczas ruchu wzgl
ę
dnego
dwóch stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, która jest proporcjonalna do nacisku ciała na
podło
Ŝ
e
N
.
T
k
=
f
k
N
(2a)
oraz sił
ę
oporu przylegania, czyli sił
ę
tarcia statycznego, wyst
ę
puj
ą
c
ą
, gdy nie ma ruchu
wzgl
ę
dnego dwóch stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, której warto
ść
wynika z warunków
ruchu ciała (I lub II zasada dynamiki), ale która nie mo
Ŝ
e przekroczy
ć
warto
ś
ci
granicznej
gr
T
T
s
T
£
gr
, gdzie
T
gr
=
f
s
N
(2b)
gdzie:
k
f
- kinetyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy),
f
- statyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy).
s
Z do
ś
wiadczenia wiadomo,
Ŝ
e
f
s
f
k
. Współczynniki tarcia w pierwszym
przybli
Ŝ
eniu nie zale
Ŝą
od siły nacisku na podło
Ŝ
e, ale zale
Ŝą
od rodzaju powierzchni
stykaj
ą
cych si
ę
(gładko
ść
powierzchni, temperatura, wilgotno
ść
, zanieczyszczenia).
Z zale
Ŝ
no
ś
ci (2a) i (2b) wida
ć
,
Ŝ
e obie siły tarcia zewn
ę
trznego nie zale
Ŝą
od wielko
ś
ci
stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, a siła tarcia przy po
ś
lizgu nie zale
Ŝ
y od pr
ę
dko
ci po
ś
lizgu
(takie tarcie nazywamy tarciem suchym).
Podczas toczenia si
ę
ciał wyst
ę
puje tarcie toczne. Toczenie jest zło
Ŝ
eniem ruchu
post
ę
powego i obrotowego. W dynamice ruchu obrotowego wielko
ciami
analogicznymi do sił s
ą
momenty sił. Dlatego analogiem siły tarcia jest tutaj moment
1
ś
>
ś
ś
siły tarcia
M
. Tarcie toczne mo
Ŝ
na scharakteryzowa
ć
poprzez współczynnik tarcia
tocznego
f
t
:
M
t
=
f
t
N
(3)
gdzie:
M
t
- moment siły tarcia,
f
t
- współczynnik tarcia tocznego (maj
ą
cy wymiar metra),
N
- siła nacisku ciała na podło
Ŝ
e (obci
ąŜ
enie normalne).
Warto
ść
współczynnika tarcia tocznego zale
Ŝ
y od rodzaju materiałów,
chropowato
ś
ci powierzchni, temperatury.
Na wst
ę
pie rozpatrzmy tocz
ą
c
ą
si
ę
po płaszczy
ź
nie poziomej kul
ę
o masie
m
i
promieniu
r
, na któr
ą
działa zewn
ę
trzna pozioma siła
F
(rys.1).
F
R
F
.
M
t
T
s
Q
Rys. 1. Siły i momenty sił działaj
ą
ce na tocz
ą
c
ą
si
ę
kul
ę
Z warunku równowagi sił w pionie wynika,
Ŝ
e pionowa siła reakcji podło
Ŝ
a
F
R
jest równa sile ci
ęŜ
ko
ś
ci
F
R
=
Q
=
mg
. Z równania (3) otrzymujemy warto
ść
momentu
tarcia tocznego
M
t
=
f
t
F
R
=
f
t
mg
. Siła
F
, je
Ŝ
eli jest wystarczaj
ą
co du
Ŝ
a, zapewnia
pieszony ruch obrotowy kuli. Ze
wszystkich sił tylko siła
F
daje niezerowy moment wzgl
ś
pieszony
ś
rodka masy kuli oraz przy
ś
ę
dem punktu styku z podło
Ŝ
em i
dlatego przy
ś
pieszenie k
ą
towe wyznaczone dzi
ę
ki II zasadzie dynamiki dla ruchu
obrotowego jest równe:
e
=
rT
s
-
M
t
,
J
=
2
mr
2
J
5
gdzie
J
jest momentem bezwładno
ś
ci kuli.
Na ruch post
ę
powy
ś
rodka masy kuli, oprócz siły
F
, wpływa tak
Ŝ
e pozioma siła
reakcji podło
Ŝ
a
T
s
(siła tarcia statycznego). Dlatego II zasada dynamiki dla ruchu
post
ę
powego ma posta
ć
F
-
T
a
=
s
m
Je
Ŝ
eli zało
Ŝ
ymy,
Ŝ
e nie wyst
ę
puje po
ś
lizg (
T
s
<
T
gr
=
f
s
N
), to ruch post
ę
powy musi
by
ć
„dopasowany” do ruchu obrotowego w tym sensie,
Ŝ
e obowi
ą
zuje zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy
przy
ś
pieszeniem liniowym i k
ą
towym
=
Dopasowanie to jest mo
a
e
r
Ŝ
liwe dzi
ę
ki odpowiedniej warto
ś
ci siły tarcia statycznego
T
s
.
Zestawiaj
ą
c powy
Ŝ
sze równania
F
-
T
s
=
rT
s
-
M
t
r
m
2
mr
2
5
mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
warto
ść
siły tarcia statycznego:
T
s
=
2
F
+
5
1
M
t
(4)
7
7
r
Siła wypadkowa działaj
ą
ca na kul
ę
jest zatem równa:
F
w
=
F
-
T
s
=
5
F
-
5
1
M
t
(5)
7
7
r
2
ruch przy
Otrzymane wyra
Ŝ
enie na sił
ę
wypadkow
ą
jest praktyczne, tzn. po podzieleniu przez
mas
ę
mo
Ŝ
na bezpo
ś
rednio obliczy
ć
przy
ś
pieszenie
ś
rodka kuli.
Rys. 2. Schemat pomiarowy do wyznaczania współczynnika tarcia tocznego
Układ pomiarowy przedstawiony jest na rys. 2. Zasadniczym elementem
przyrz
ą
du jest wahadło nachylne składaj
ą
ce si
ę
ę
badan
ą
próbk
ę
(10), czyli metalow
ą
płytk
ę
, po której toczy si
ę
kulka. Pokr
ę
tło (11) słu
Ŝ
y do pochylenia
(10), w celu wykonywania zasadniczych pomiarów
współczynnika tarcia tocznego. W czasie drga
ą
ń
wahadła nast
ę
puje proces mierzenia
czasu po przyci
ś
ni
ę
ciu przeł
ą
cznika
W
2. Proces liczenia trwa do momentu przyci
ś
ni
ę
cia
przeł
ą
cznika
W
3. W czasie pomiaru przyrz
ą
d musi by
ć
dokładnie wypoziomowany przy
pomocy nó
Ŝ
ek o regulowanej wysoko
ś
ci. Do pomiaru
ś
rednicy kulki u
Ŝ
y
ć
suwmiarki
lub
ś
ruby mikrometrycznej.
Wyprowad
ź
my wzór, z którego b
ę
dziemy mogli wyznaczy
ć
współczynnik tarcia
tocznego. W tym celu skorzystamy z zastosowanego w
ć
wiczeniu wahadła nachylnego
(kulki z wodzikiem 9) o ci
ęŜ
arze
Q
, które pochylone jest pod k
ą
tem
b
wzgl
ę
dem pionu
(rys. 3a). Na podstawie rozkładu sił otrzymamy składow
ą
ci
ęŜ
aru wahadła wzdłu
Ŝ
kierunku najwi
ę
kszego spadku na płaszczy
ź
nie próbki
Q
i składow
ą
prostopadł
ą
do tej
płaszczyzny
Q
:
Q
s
=
Q
cos
b
(6)
Q
w
=
Q
sin
b
(7)
a)
b)
a
b
b
Q
s2
b
a
Q
s1
Q
s
Q
w
Q
s
Q
s
Q
3
z nici, do której zamocowana jest kulka
z wodzikiem (9) oraz wspornik (5), gdzie po prowadnicach wsuwa si
kolumny (8) wahadła wraz z płytk
Rys. 3. Rozkład siły ci
ęŜ
ko
ś
ci działaj
ą
cej na kulk
ę
wahadła znajduj
ą
c
ą
si
ę
na pochylonej płaszczy
ź
nie
Po odchyleniu wahadła (kulki 9) od poło
Ŝ
enia równowagi o k
ą
t
o
a
(rys. 3b) kulka
zaczyna toczy
ć
si
ę
po badanej próbce (10) pod wpływem składowej siły
2
Q
. Zgodnie
s
z rozkładem sił otrzymamy wyra
Ŝ
enie na t
ę
składow
ą
, słuszne dla dowolnego k
ą
ta
a
:
Q
s
2
=
Q
s
sin
a
=
Q
sin
a
cos
b
dla małych k
ą
tów
sin
a »
a
, otrzymamy zatem zale
Ŝ
no
ść
przybli
Ŝ
on
ą
:
Q
s
2
Q
=
a
cos
b
(8)
Ze wzgl
ę
du na to przybli
Ŝ
enie nale
Ŝ
y d
ąŜ
y
ć
do tego, aby amplituda waha
ń
o
a
nie
przekraczała paru stopni.
Rozpatrzmy ruch obrotowy wahadła wzgl
ę
dem punktu zawieszenia. Wszystkie
wyznaczane poni
Ŝ
ej momenty sił b
ę
dziemy liczy
ć
wzgl
ę
dem tego punktu.
Składowa
Q
jest równowa
Ŝ
ona przez sił
ę
reakcji podło
Ŝ
a, składowa
Q
nie daje
momentu siły wzgl
ę
dem punktu zawieszenia, wida
ć
wi
ę
c,
Ŝ
e składowa
2
Q
pełni rol
s
ę
siły zewn
ę
trznej z rozpatrywanego wcze
ś
niej wst
ę
pnego przykładu z tocz
ą
c
ą
si
ę
kul
ą
.
Gdyby tarcie toczne nie wyst
ę
powało (
M
t
=
0
), to po uwzgl
ę
dnieniu siły tarcia
statycznego, mogliby
ś
my wyznaczy
ć
wypadkow
ą
dwóch sił
2
Q
i
T
, korzystaj
s
ą
c ze
wzorów (5) i (8):
a na tej podstawie - moment tej siły wypadkowej wzgl
F
w
=
5
Q
s
2
=
5
Q
a
cos
b
7
7
ę
dem punktu zawieszenia
M
=
-
5
RQ
a
cos
b
(9)
cy wahadła nachylnego.
Przez porównanie z przypadkiem zwykłego wahadła matematycznego, gdzie
analogiczny moment siły jest równy
Ŝ
ny od k
ą
ta wychylenia
a
i odpowiedzialny za ruch drgaj
ą
M
=
-
R
Q
a
, a jego okres -
T
=
2
R
, mo
Ŝ
na
g
napisa
ć
wzór na okres wahadła nachylnego:
T
=
2
p
7
R
cos
b
(10)
5
g
Współczynnik
7
stoj
ą
cy w powy
Ŝ
szym wzorze jest odbiciem faktu,
Ŝ
e kulka
toczona pod wpływem jakiej
ś
siły b
ę
dzie miała mniejsze przy
ś
pieszenie, ni
Ŝ
nie
obracaj
ą
ce si
ę
ciało o tej samej masie.
Dodajmy teraz do rozwa
Ŝ
a
ń
ruchu kulki tarcie toczne. Ze wzoru (5) wida
ć
,
Ŝ
e siła
wypadkowa działaj
ą
ca na kulk
ę
zmniejszy si
ę
o warto
ść
5
r
M
t
, (bo o tyle zwi
ę
kszy si
ę
7
siła tarcia statycznego, przeciwstawiaj
ą
ca si
ę
ruchowi). Warto
ść
t
ę
mo
Ŝ
na traktowa
ć
jako sił
ę
hamuj
ą
c
ą
, skierowan
ą
przeciwnie do kierunku ruchu wahadła, wynikaj
ą
c
ą
z istnienia momentu tarcia tocznego
M
. Moment tej siły wzgl
t
ę
dem punktu
zawieszenia jest równy:
M
=
R
5
1
M
=
R
5
1
f
N
h
t
t
7
r
7
r
a po podstawieniu siły
Q
, danej wzorem (7), za sił
ę
nacisku
N
, otrzymujemy:
M
=
R
5
1
f
Q
sin
b
(11)
h
t
7
r
4
7
zale
5
1
Ten stały, co do warto
ś
ci hamuj
ą
cy moment siły, skierowany jest przeciwnie do
kierunku obrotu wzgl
ę
dem punktu zawieszenia. Podczas ruchu wahadła w lewo moment
hamuj
ą
cy jest skierowany w prawo i dlatego spowoduje on przesuni
ę
cie poło
Ŝ
enia
równowagi wahadła w prawo o k
ą
t e, co wynika z wykresu na rys. 4. Na wykresie tym,
przedstawiaj
ą
cym zale
Ŝ
no
ść
momentów sił od k
ą
ta obrotu, momenty sił kieruj
ą
ce kulk
ę
e dopóki kulka nie zmienia kierunku, jej ruch podlega
tym samym prawom, co zwykły ruch drgaj
ą
dodatnie. Wida
ć
,
Ŝ
ą
cy (bez tarcia), pod wpływem wypadkowego
momentu siły
w
M
proporcjonalnego do wychylenia
a -
e
z poło
Ŝ
enia równowagi
a =
e
(rys. 4).
a)
b)
M
M=M+
M
w
h
M
M
h
e
a-2e
0
a
0
a
a-e
0
a-e
0
e
Rys. 4. Wychylenie w lewo: a)momenty sił działaj
ą
ce na wahadło, b) schemat ruchu
Przesuni
ę
cie k
ą
towe poło
Ŝ
enia równowagi wahadła mo
Ŝ
na obliczy
ć
z warunku
równowagi momentów
Ŝą
daj
ą
c, aby w tym poło
Ŝ
eniu moment wypadkowy był równy
zeru
M
w
=
M
+
M
h
=
-
5
RQ
a
cos
b
+
5
R
1
f
t
Q
sin
b
=
0
7
7
r
z czego dostajemy k
ą
t równowagi:
a
º
e
=
f
t
tg
b
(12)
r
Na rys. 4 przedstawiono ruch wahadła w lewo, po wychyleniu w prawo o k
ą
t
a
o
kszego spadku na pochyłej płytce (linia ta widoczna jest na rysunku jako
linia pionowa). Wida
ę
ć
,
Ŝ
e ruch jest symetryczny wokół chwilowego poło
Ŝ
enia
równowagi
a =
e
, a amplituda jest równa
a =
0
e
a
. Powoduje to jednak,
Ŝ
e najwi
ę
ksze
wychylenie kulki w lewo, licz
ą
c od linii najwi
ę
kszego spadku, b
ę
dzie równe
a
0
-
2
e
.
Po osi
ą
gni
ę
ciu tego najwi
ę
kszego wychylenia kulka zaczyna porusza
ć
si
ę
w prawo,
a wtedy moment hamuj
ą
cy
h
M
, wynikły z tarcia tocznego, szybko zmienia kierunek, co
powoduje ustalenie si
ę
nowego poło
Ŝ
enia równowagi
a -
=
e
. Dlatego ruch w prawo
jest analogiczny do poprzedniej fazy ruchu, a najwi
ę
ksze wychylenie w prawo, licz
ą
c od
linii najwi
ę
kszego spadku, zmniejsza si
ę
znów o k
ą
t
2 , co daje ł
e
ą
czn
ą
zmian
ę
o k
ą
t
.
Dalej ruch przebiega podobnie i dla
n
-tego maksymalnego wychylenia zachodzi:
ą
tkowym wychyleniem
a
0
-
a
1
=
4
e
a
0
-
a
n
=
n
(
4
e
)
(13)
Wyznaczaj
ą
c z tej zale
Ŝ
no
ś
ci
e
i podstawiaj
ą
c do równania (12), dostajemy wzór,
dzi
ę
ki któremu mo
Ŝ
na obliczy
ć
współczynnik tarcia tocznego
f
=
r
ctg
b
a
o
-
a
n
(14)
t
4
n
gdzie:
r
- promie
ń
kulki w milimetrach,
a
o
- k
ą
t pocz
ą
tkowego wychylenia wahadła [rad],
a
n
- k
ą
t odczytany po
n
„okresach
”
drga
ń
wahadła [rad],
5
w prawo s
od linii najwi
4 , w porównaniu z pocz
e
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
wiczenie 14
Wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1.
Tarcie statyczne i dynamiczne.
2.
Ruch obrotowy bryły sztywnej.
3.
Ruch harmoniczny tłumiony.
II. Wprowadzenie
Zjawisko wyst
ę
powania oporów podczas ruchu ciała stałego nazywamy tarciem.
Tarcie pojawia si
ę
przy poruszaniu si
ę
ciała w cieczy lub gazie i wtedy nazywamy je
tarciem wewn
ę
trznym (lepko
ś
ci
ą
), jak równie
Ŝ
przy kontakcie ciała z powierzchni
ą
innego ciała stałego (tarcie zewn
ę
trzne), a wtedy w zale
Ŝ
no
ś
ci od tego, czy ciała
przylegaj
ą
bez ruchu,
ś
lizgaj
ą
si
ę
lub tocz
ą
jedne po drugich, mówimy o tarciu
przylegania, tarciu przy po
ś
lizgu i tarciu przy toczeniu.
Siła tarcia wewn
ę
trznego (oporu lepkiego) jest przeciwnie skierowana do
pr
ę
dko
ś
ci ruchu ciała i zale
Ŝ
y od lepko
ś
ci cieczy oraz rozmiaru i kształtu ciała oraz od
warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci, do której jest wprost proporcjonalna:
F
o
=
-
b
v
,
(1)
gdzie
b
jest współczynnikiem oporu lepkiego, zale
Ŝ
nym od lepko
ś
ci cieczy oraz
rozmiaru i kształtu ciała.
Tarcie zewn
ę
trzne polega na powstawaniu oporu w płaszczy
ź
nie zetkni
ę
cia,
podczas ruchu wzgl
ę
dnego dwóch stykaj
ą
cych si
ę
ciał.
Wyró
Ŝ
niamy sił
ę
tarcia przy po
lizgu, wyst
ę
puj
ą
c
ą
podczas ruchu wzgl
ę
dnego
dwóch stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, która jest proporcjonalna do nacisku ciała na
podło
Ŝ
e
N
.
T
k
=
f
k
N
(2a)
oraz sił
ę
oporu przylegania, czyli sił
ę
tarcia statycznego, wyst
ę
puj
ą
c
ą
, gdy nie ma ruchu
wzgl
ę
dnego dwóch stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, której warto
ść
wynika z warunków
ruchu ciała (I lub II zasada dynamiki), ale która nie mo
Ŝ
e przekroczy
ć
warto
ś
ci
granicznej
gr
T
T
s
T
£
gr
, gdzie
T
gr
=
f
s
N
(2b)
gdzie:
k
f
- kinetyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy),
f
- statyczny współczynnik tarcia (bezwymiarowy).
s
Z do
ś
wiadczenia wiadomo,
Ŝ
e
f
s
f
k
. Współczynniki tarcia w pierwszym
przybli
Ŝ
eniu nie zale
Ŝą
od siły nacisku na podło
Ŝ
e, ale zale
Ŝą
od rodzaju powierzchni
stykaj
ą
cych si
ę
(gładko
ść
powierzchni, temperatura, wilgotno
ść
, zanieczyszczenia).
Z zale
Ŝ
no
ś
ci (2a) i (2b) wida
ć
,
Ŝ
e obie siły tarcia zewn
ę
trznego nie zale
Ŝą
od wielko
ś
ci
stykaj
ą
cych si
ę
powierzchni, a siła tarcia przy po
ś
lizgu nie zale
Ŝ
y od pr
ę
dko
ci po
ś
lizgu
(takie tarcie nazywamy tarciem suchym).
Podczas toczenia si
ę
ciał wyst
ę
puje tarcie toczne. Toczenie jest zło
Ŝ
eniem ruchu
post
ę
powego i obrotowego. W dynamice ruchu obrotowego wielko
ciami
analogicznymi do sił s
ą
momenty sił. Dlatego analogiem siły tarcia jest tutaj moment
1
ś
>
ś
ś
siły tarcia
M
. Tarcie toczne mo
Ŝ
na scharakteryzowa
ć
poprzez współczynnik tarcia
tocznego
f
t
:
M
t
=
f
t
N
(3)
gdzie:
M
t
- moment siły tarcia,
f
t
- współczynnik tarcia tocznego (maj
ą
cy wymiar metra),
N
- siła nacisku ciała na podło
Ŝ
e (obci
ąŜ
enie normalne).
Warto
ść
współczynnika tarcia tocznego zale
Ŝ
y od rodzaju materiałów,
chropowato
ś
ci powierzchni, temperatury.
Na wst
ę
pie rozpatrzmy tocz
ą
c
ą
si
ę
po płaszczy
ź
nie poziomej kul
ę
o masie
m
i
promieniu
r
, na któr
ą
działa zewn
ę
trzna pozioma siła
F
(rys.1).
F
R
F
.
M
t
T
s
Q
Rys. 1. Siły i momenty sił działaj
ą
ce na tocz
ą
c
ą
si
ę
kul
ę
Z warunku równowagi sił w pionie wynika,
Ŝ
e pionowa siła reakcji podło
Ŝ
a
F
R
jest równa sile ci
ęŜ
ko
ś
ci
F
R
=
Q
=
mg
. Z równania (3) otrzymujemy warto
ść
momentu
tarcia tocznego
M
t
=
f
t
F
R
=
f
t
mg
. Siła
F
, je
Ŝ
eli jest wystarczaj
ą
co du
Ŝ
a, zapewnia
pieszony ruch obrotowy kuli. Ze
wszystkich sił tylko siła
F
daje niezerowy moment wzgl
ś
pieszony
ś
rodka masy kuli oraz przy
ś
ę
dem punktu styku z podło
Ŝ
em i
dlatego przy
ś
pieszenie k
ą
towe wyznaczone dzi
ę
ki II zasadzie dynamiki dla ruchu
obrotowego jest równe:
e
=
rT
s
-
M
t
,
J
=
2
mr
2
J
5
gdzie
J
jest momentem bezwładno
ś
ci kuli.
Na ruch post
ę
powy
ś
rodka masy kuli, oprócz siły
F
, wpływa tak
Ŝ
e pozioma siła
reakcji podło
Ŝ
a
T
s
(siła tarcia statycznego). Dlatego II zasada dynamiki dla ruchu
post
ę
powego ma posta
ć
F
-
T
a
=
s
m
Je
Ŝ
eli zało
Ŝ
ymy,
Ŝ
e nie wyst
ę
puje po
ś
lizg (
T
s
<
T
gr
=
f
s
N
), to ruch post
ę
powy musi
by
ć
„dopasowany” do ruchu obrotowego w tym sensie,
Ŝ
e obowi
ą
zuje zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy
przy
ś
pieszeniem liniowym i k
ą
towym
=
Dopasowanie to jest mo
a
e
r
Ŝ
liwe dzi
ę
ki odpowiedniej warto
ś
ci siły tarcia statycznego
T
s
.
Zestawiaj
ą
c powy
Ŝ
sze równania
F
-
T
s
=
rT
s
-
M
t
r
m
2
mr
2
5
mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
warto
ść
siły tarcia statycznego:
T
s
=
2
F
+
5
1
M
t
(4)
7
7
r
Siła wypadkowa działaj
ą
ca na kul
ę
jest zatem równa:
F
w
=
F
-
T
s
=
5
F
-
5
1
M
t
(5)
7
7
r
2
ruch przy
Otrzymane wyra
Ŝ
enie na sił
ę
wypadkow
ą
jest praktyczne, tzn. po podzieleniu przez
mas
ę
mo
Ŝ
na bezpo
ś
rednio obliczy
ć
przy
ś
pieszenie
ś
rodka kuli.
Rys. 2. Schemat pomiarowy do wyznaczania współczynnika tarcia tocznego
Układ pomiarowy przedstawiony jest na rys. 2. Zasadniczym elementem
przyrz
ą
du jest wahadło nachylne składaj
ą
ce si
ę
ę
badan
ą
próbk
ę
(10), czyli metalow
ą
płytk
ę
, po której toczy si
ę
kulka. Pokr
ę
tło (11) słu
Ŝ
y do pochylenia
(10), w celu wykonywania zasadniczych pomiarów
współczynnika tarcia tocznego. W czasie drga
ą
ń
wahadła nast
ę
puje proces mierzenia
czasu po przyci
ś
ni
ę
ciu przeł
ą
cznika
W
2. Proces liczenia trwa do momentu przyci
ś
ni
ę
cia
przeł
ą
cznika
W
3. W czasie pomiaru przyrz
ą
d musi by
ć
dokładnie wypoziomowany przy
pomocy nó
Ŝ
ek o regulowanej wysoko
ś
ci. Do pomiaru
ś
rednicy kulki u
Ŝ
y
ć
suwmiarki
lub
ś
ruby mikrometrycznej.
Wyprowad
ź
my wzór, z którego b
ę
dziemy mogli wyznaczy
ć
współczynnik tarcia
tocznego. W tym celu skorzystamy z zastosowanego w
ć
wiczeniu wahadła nachylnego
(kulki z wodzikiem 9) o ci
ęŜ
arze
Q
, które pochylone jest pod k
ą
tem
b
wzgl
ę
dem pionu
(rys. 3a). Na podstawie rozkładu sił otrzymamy składow
ą
ci
ęŜ
aru wahadła wzdłu
Ŝ
kierunku najwi
ę
kszego spadku na płaszczy
ź
nie próbki
Q
i składow
ą
prostopadł
ą
do tej
płaszczyzny
Q
:
Q
s
=
Q
cos
b
(6)
Q
w
=
Q
sin
b
(7)
a)
b)
a
b
b
Q
s2
b
a
Q
s1
Q
s
Q
w
Q
s
Q
s
Q
3
z nici, do której zamocowana jest kulka
z wodzikiem (9) oraz wspornik (5), gdzie po prowadnicach wsuwa si
kolumny (8) wahadła wraz z płytk
Rys. 3. Rozkład siły ci
ęŜ
ko
ś
ci działaj
ą
cej na kulk
ę
wahadła znajduj
ą
c
ą
si
ę
na pochylonej płaszczy
ź
nie
Po odchyleniu wahadła (kulki 9) od poło
Ŝ
enia równowagi o k
ą
t
o
a
(rys. 3b) kulka
zaczyna toczy
ć
si
ę
po badanej próbce (10) pod wpływem składowej siły
2
Q
. Zgodnie
s
z rozkładem sił otrzymamy wyra
Ŝ
enie na t
ę
składow
ą
, słuszne dla dowolnego k
ą
ta
a
:
Q
s
2
=
Q
s
sin
a
=
Q
sin
a
cos
b
dla małych k
ą
tów
sin
a »
a
, otrzymamy zatem zale
Ŝ
no
ść
przybli
Ŝ
on
ą
:
Q
s
2
Q
=
a
cos
b
(8)
Ze wzgl
ę
du na to przybli
Ŝ
enie nale
Ŝ
y d
ąŜ
y
ć
do tego, aby amplituda waha
ń
o
a
nie
przekraczała paru stopni.
Rozpatrzmy ruch obrotowy wahadła wzgl
ę
dem punktu zawieszenia. Wszystkie
wyznaczane poni
Ŝ
ej momenty sił b
ę
dziemy liczy
ć
wzgl
ę
dem tego punktu.
Składowa
Q
jest równowa
Ŝ
ona przez sił
ę
reakcji podło
Ŝ
a, składowa
Q
nie daje
momentu siły wzgl
ę
dem punktu zawieszenia, wida
ć
wi
ę
c,
Ŝ
e składowa
2
Q
pełni rol
s
ę
siły zewn
ę
trznej z rozpatrywanego wcze
ś
niej wst
ę
pnego przykładu z tocz
ą
c
ą
si
ę
kul
ą
.
Gdyby tarcie toczne nie wyst
ę
powało (
M
t
=
0
), to po uwzgl
ę
dnieniu siły tarcia
statycznego, mogliby
ś
my wyznaczy
ć
wypadkow
ą
dwóch sił
2
Q
i
T
, korzystaj
s
ą
c ze
wzorów (5) i (8):
a na tej podstawie - moment tej siły wypadkowej wzgl
F
w
=
5
Q
s
2
=
5
Q
a
cos
b
7
7
ę
dem punktu zawieszenia
M
=
-
5
RQ
a
cos
b
(9)
cy wahadła nachylnego.
Przez porównanie z przypadkiem zwykłego wahadła matematycznego, gdzie
analogiczny moment siły jest równy
Ŝ
ny od k
ą
ta wychylenia
a
i odpowiedzialny za ruch drgaj
ą
M
=
-
R
Q
a
, a jego okres -
T
=
2
R
, mo
Ŝ
na
g
napisa
ć
wzór na okres wahadła nachylnego:
T
=
2
p
7
R
cos
b
(10)
5
g
Współczynnik
7
stoj
ą
cy w powy
Ŝ
szym wzorze jest odbiciem faktu,
Ŝ
e kulka
toczona pod wpływem jakiej
ś
siły b
ę
dzie miała mniejsze przy
ś
pieszenie, ni
Ŝ
nie
obracaj
ą
ce si
ę
ciało o tej samej masie.
Dodajmy teraz do rozwa
Ŝ
a
ń
ruchu kulki tarcie toczne. Ze wzoru (5) wida
ć
,
Ŝ
e siła
wypadkowa działaj
ą
ca na kulk
ę
zmniejszy si
ę
o warto
ść
5
r
M
t
, (bo o tyle zwi
ę
kszy si
ę
7
siła tarcia statycznego, przeciwstawiaj
ą
ca si
ę
ruchowi). Warto
ść
t
ę
mo
Ŝ
na traktowa
ć
jako sił
ę
hamuj
ą
c
ą
, skierowan
ą
przeciwnie do kierunku ruchu wahadła, wynikaj
ą
c
ą
z istnienia momentu tarcia tocznego
M
. Moment tej siły wzgl
t
ę
dem punktu
zawieszenia jest równy:
M
=
R
5
1
M
=
R
5
1
f
N
h
t
t
7
r
7
r
a po podstawieniu siły
Q
, danej wzorem (7), za sił
ę
nacisku
N
, otrzymujemy:
M
=
R
5
1
f
Q
sin
b
(11)
h
t
7
r
4
7
zale
5
1
Ten stały, co do warto
ś
ci hamuj
ą
cy moment siły, skierowany jest przeciwnie do
kierunku obrotu wzgl
ę
dem punktu zawieszenia. Podczas ruchu wahadła w lewo moment
hamuj
ą
cy jest skierowany w prawo i dlatego spowoduje on przesuni
ę
cie poło
Ŝ
enia
równowagi wahadła w prawo o k
ą
t e, co wynika z wykresu na rys. 4. Na wykresie tym,
przedstawiaj
ą
cym zale
Ŝ
no
ść
momentów sił od k
ą
ta obrotu, momenty sił kieruj
ą
ce kulk
ę
e dopóki kulka nie zmienia kierunku, jej ruch podlega
tym samym prawom, co zwykły ruch drgaj
ą
dodatnie. Wida
ć
,
Ŝ
ą
cy (bez tarcia), pod wpływem wypadkowego
momentu siły
w
M
proporcjonalnego do wychylenia
a -
e
z poło
Ŝ
enia równowagi
a =
e
(rys. 4).
a)
b)
M
M=M+
M
w
h
M
M
h
e
a-2e
0
a
0
a
a-e
0
a-e
0
e
Rys. 4. Wychylenie w lewo: a)momenty sił działaj
ą
ce na wahadło, b) schemat ruchu
Przesuni
ę
cie k
ą
towe poło
Ŝ
enia równowagi wahadła mo
Ŝ
na obliczy
ć
z warunku
równowagi momentów
Ŝą
daj
ą
c, aby w tym poło
Ŝ
eniu moment wypadkowy był równy
zeru
M
w
=
M
+
M
h
=
-
5
RQ
a
cos
b
+
5
R
1
f
t
Q
sin
b
=
0
7
7
r
z czego dostajemy k
ą
t równowagi:
a
º
e
=
f
t
tg
b
(12)
r
Na rys. 4 przedstawiono ruch wahadła w lewo, po wychyleniu w prawo o k
ą
t
a
o
kszego spadku na pochyłej płytce (linia ta widoczna jest na rysunku jako
linia pionowa). Wida
ę
ć
,
Ŝ
e ruch jest symetryczny wokół chwilowego poło
Ŝ
enia
równowagi
a =
e
, a amplituda jest równa
a =
0
e
a
. Powoduje to jednak,
Ŝ
e najwi
ę
ksze
wychylenie kulki w lewo, licz
ą
c od linii najwi
ę
kszego spadku, b
ę
dzie równe
a
0
-
2
e
.
Po osi
ą
gni
ę
ciu tego najwi
ę
kszego wychylenia kulka zaczyna porusza
ć
si
ę
w prawo,
a wtedy moment hamuj
ą
cy
h
M
, wynikły z tarcia tocznego, szybko zmienia kierunek, co
powoduje ustalenie si
ę
nowego poło
Ŝ
enia równowagi
a -
=
e
. Dlatego ruch w prawo
jest analogiczny do poprzedniej fazy ruchu, a najwi
ę
ksze wychylenie w prawo, licz
ą
c od
linii najwi
ę
kszego spadku, zmniejsza si
ę
znów o k
ą
t
2 , co daje ł
e
ą
czn
ą
zmian
ę
o k
ą
t
.
Dalej ruch przebiega podobnie i dla
n
-tego maksymalnego wychylenia zachodzi:
ą
tkowym wychyleniem
a
0
-
a
1
=
4
e
a
0
-
a
n
=
n
(
4
e
)
(13)
Wyznaczaj
ą
c z tej zale
Ŝ
no
ś
ci
e
i podstawiaj
ą
c do równania (12), dostajemy wzór,
dzi
ę
ki któremu mo
Ŝ
na obliczy
ć
współczynnik tarcia tocznego
f
=
r
ctg
b
a
o
-
a
n
(14)
t
4
n
gdzie:
r
- promie
ń
kulki w milimetrach,
a
o
- k
ą
t pocz
ą
tkowego wychylenia wahadła [rad],
a
n
- k
ą
t odczytany po
n
„okresach
”
drga
ń
wahadła [rad],
5
w prawo s
od linii najwi
4 , w porównaniu z pocz
e