Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
14. Model liniowy. Estymatory najmniejszych kwadrat
ó
w
1. Zadanie polega na oszacowaniu nieznanej wielko–ci
za pomoc¡ jej po-
miar
ó
w
Y
i
,
i
=1
;:::;n
, obarczonych addytywnymi b“ƒdami losowymi
"
i
. W
ó
wczas model liniowy ma posta¢
Y
i
=
+
"
i
i
=1
;:::;n:
Wyznaczy¢ estymator parametru
metod¡ najmniejszych kwadrat
ó
w.
2. Niech
1
oznacza –redni¡ warto–¢ badanej cechy obiektu wykonanego
pewn¡ technologi¡, a
2
bƒdzie odpowiedni¡ –redni¡ warto–ci¡ cechy
dla obiektu wykonanego inn¡ technologi¡. Zbadano warto–¢ cechy w
obu technologiach, mierz¡c jej warto–¢ na
n
1
obiektach wykonanych
pierwsza technologi¡ i na
n
2
obiektach wykonanych druga technologi¡.
Skonstruowa¢ model liniowy dla przeprowadzonego eksperymentu i wyz-
naczy¢ estymator r
ó
»nicy
1
2
metod¡ najmniejszych kwadrat
ó
w.
3. Rozwa»my model prostej regresji liniowej postaci
Y
i
=
0
+
1
x
i
+
"
i
; i
=1
;:::;n:
Je–li wszystkie
x
i
nie s¡ sobie r
ó
wne, to estymatorami najmniejszych
kwadrat
ó
w parametr
ó
w s¡
ˆ
1
=
P
(
x
i
¯
x
)
Y
i
(
x
i
¯
x
)
2
;
ˆ
0
=
¯
Y
¯
x
ˆ
1
:
(
x
i
¯
x
)
2
.
Nastƒpnie sprawdzi¢, »e Cov(
¯
Y;
ˆ
1
)=0oraz wyprowadzi¢ nastƒpuj¡ce
wzory:
P
n
+
¯
x
2
Cov(
ˆ
0
;
ˆ
1
)=
¯
x
Var
ˆ
1
;
Var
ˆ
0
=
2
P
(
x
i
¯
x
)
2
:
4. Rozwa»my model liniowy postaci
Y
i
=
0
+
1
x
i
+
2
x
2
i
+
"
i
; i
=1
;:::;n:
Pokaza¢, »e parametry mo»na wyestymowa¢ metod¡ najmniejszych kwa-
drat
ó
w, je–li w–r
ó
d
x
1
;:::;x
n
znajduj¡ siƒ co najmniej trzy r
ó
»ne warto–-
ci. Wypisa¢ i rozwi¡za¢ uk“ad r
ó
wna« normalnych.
1
P
Zauwa»y¢, »e je–li b“ƒdy
"
i
maj¡ rozk“ady normalne
N
(0
;
2
), to rozk“ad
parametr
ó
w jest te» normalny. Pokaza¢, »e Var
ˆ
1
=
2
=
1
5. Niech
Y
1
;Y
2
;Y
3
;Y
4
bƒd¡ wynikami pomiar
ó
w k¡t
ó
w
1
;
2
;
3
;
4
pewne-
go czworok¡ta na powierzchni ziemi. Zak“adaj¡c, »e obserwacje s¡
obci¡»one addytywnymi b“ƒdami, kt
ó
re s¡ niezale»ne, maj¡ warto–¢
oczekiwan¡ r
ó
wn¡ 0 i wsp
ó
ln¡ nieznan¡ wariancjƒ
2
, wyznaczy¢ meto-
d¡ najmniejszych kwadrat
ó
w estymatory wielko–ci k¡t
ó
w i nieobci¡»ony
estymator wariancji.
Rozwi¡za¢ analogiczne zadanie przy dodatkowym za“o»eniu, »e czworo-
k¡t jest r
ó
wnoleg“obokiem i
1
=
3
oraz
2
=
4
.
2
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
ó
w
1. Zadanie polega na oszacowaniu nieznanej wielko–ci
za pomoc¡ jej po-
miar
ó
w
Y
i
,
i
=1
;:::;n
, obarczonych addytywnymi b“ƒdami losowymi
"
i
. W
ó
wczas model liniowy ma posta¢
Y
i
=
+
"
i
i
=1
;:::;n:
Wyznaczy¢ estymator parametru
metod¡ najmniejszych kwadrat
ó
w.
2. Niech
1
oznacza –redni¡ warto–¢ badanej cechy obiektu wykonanego
pewn¡ technologi¡, a
2
bƒdzie odpowiedni¡ –redni¡ warto–ci¡ cechy
dla obiektu wykonanego inn¡ technologi¡. Zbadano warto–¢ cechy w
obu technologiach, mierz¡c jej warto–¢ na
n
1
obiektach wykonanych
pierwsza technologi¡ i na
n
2
obiektach wykonanych druga technologi¡.
Skonstruowa¢ model liniowy dla przeprowadzonego eksperymentu i wyz-
naczy¢ estymator r
ó
»nicy
1
2
metod¡ najmniejszych kwadrat
ó
w.
3. Rozwa»my model prostej regresji liniowej postaci
Y
i
=
0
+
1
x
i
+
"
i
; i
=1
;:::;n:
Je–li wszystkie
x
i
nie s¡ sobie r
ó
wne, to estymatorami najmniejszych
kwadrat
ó
w parametr
ó
w s¡
ˆ
1
=
P
(
x
i
¯
x
)
Y
i
(
x
i
¯
x
)
2
;
ˆ
0
=
¯
Y
¯
x
ˆ
1
:
(
x
i
¯
x
)
2
.
Nastƒpnie sprawdzi¢, »e Cov(
¯
Y;
ˆ
1
)=0oraz wyprowadzi¢ nastƒpuj¡ce
wzory:
P
n
+
¯
x
2
Cov(
ˆ
0
;
ˆ
1
)=
¯
x
Var
ˆ
1
;
Var
ˆ
0
=
2
P
(
x
i
¯
x
)
2
:
4. Rozwa»my model liniowy postaci
Y
i
=
0
+
1
x
i
+
2
x
2
i
+
"
i
; i
=1
;:::;n:
Pokaza¢, »e parametry mo»na wyestymowa¢ metod¡ najmniejszych kwa-
drat
ó
w, je–li w–r
ó
d
x
1
;:::;x
n
znajduj¡ siƒ co najmniej trzy r
ó
»ne warto–-
ci. Wypisa¢ i rozwi¡za¢ uk“ad r
ó
wna« normalnych.
1
P
Zauwa»y¢, »e je–li b“ƒdy
"
i
maj¡ rozk“ady normalne
N
(0
;
2
), to rozk“ad
parametr
ó
w jest te» normalny. Pokaza¢, »e Var
ˆ
1
=
2
=
1
5. Niech
Y
1
;Y
2
;Y
3
;Y
4
bƒd¡ wynikami pomiar
ó
w k¡t
ó
w
1
;
2
;
3
;
4
pewne-
go czworok¡ta na powierzchni ziemi. Zak“adaj¡c, »e obserwacje s¡
obci¡»one addytywnymi b“ƒdami, kt
ó
re s¡ niezale»ne, maj¡ warto–¢
oczekiwan¡ r
ó
wn¡ 0 i wsp
ó
ln¡ nieznan¡ wariancjƒ
2
, wyznaczy¢ meto-
d¡ najmniejszych kwadrat
ó
w estymatory wielko–ci k¡t
ó
w i nieobci¡»ony
estymator wariancji.
Rozwi¡za¢ analogiczne zadanie przy dodatkowym za“o»eniu, »e czworo-
k¡t jest r
ó
wnoleg“obokiem i
1
=
3
oraz
2
=
4
.
2