Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.

WYPUKŁOŚĆ ORAZ WKLĘSŁOŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 4
Niech funkcja
f
będzie określona na
( )
f
na
( )
a
, oraz posiada skończoną pochodną
b
a
, .
b
Na to by funkcja
f
była wypukła
(
∪ lub wklęsła
(
∩ na
( )
a
, potrzeba i wystarcza, by
b
(
∪
(
∩
"
"
∈
f
(
x
)
≥
0
∈
f
(
x
)
≤
0
x
(
a
,
b
)
x
(
a
,
b
)
(
)
Definicja: Mówimy, że punkt
P
=
P
x
0
x
,
f
(
)
jest punktem przegięcia krzywej
y
=
f
(
x
)
,
0
która jest wykresem funkcji ciągłej
y
= , jeżeli w punkcie
x
zmienia się charakter
wypukłości funkcji
f
. Tzn. w
x
funkcja
f
z wypukłej staje się wklęsła i na odwrót.
f
(
x
)
( )
dla funkcji
( )
ℜ
Uwaga: Jeżeli w otoczeniu punktu
x
0
∈
a
,
b
f
,
:
b
→
, która posiada
"
"
"
skończoną pochodną
f
(
x
)
, w tym otoczeniu
f
(
0
x
)
=
0
, zmienia się znak
f
(
x
)
to w
x
istnieje punkt przegięcia wykresu funkcji
f
.
{
}
Uwaga
:Niech funkcja
f
będzie określona na niepustym podzbiorze
ℜ⊂
X
Obok punktów zbioru
X
, w którym funkcja
f
posiada maksimum lokalne lub minimum
lokalne, mogą w dziedzinie
X
, istnieć punkty, w których funkcja
f
przyjmuje wartość
najmniejszą lub wartość największą.
=
−
∞
+∞
ASYMPTOTY
Niech będzie dana krzywa
y
=
f
(
x
)
, określona i ciągła na
x
∈
X
⊂
ℜ
o
wartościach rzeczywistych.
Jeżeli odległość punktu krzywej od pewnej prostej dąży do zera, oraz jest różna od zera przy
oddalaniu się punktu do + lub − tzn. przy
(
)
−
+
x
→
+∞
(−∞
)
lub przy
x
→
x
x
→
x
to
0
0
prosta ta nazywa się asymptotą krzywej
y
=
f
(
x
)
.
RODZAJE ASYMPTOT
a)
na to by przy
x
→
+∞
(−∞
)
prosta
b
y
= była asymptotą krzywej ciągłej
y
=
f
(
x
)
,
potrzeba i wystarcza, by granica
lim
f
(
x
)
−
b
=
0
oraz
f
≠
(
)
b
co jest równoznaczne
x
→
±∞
warunkowi
lim
f
(
x
)
=
b
oraz
f
≠
(
)
b
x
→
±∞
Wtedy prosta
b
y
= nazywamy asymptotą poziomą krzywej
y
=
f
(
x
)
X
x
∈
b)
niech funkcja rzeczywista
f
będzie określona w pewnym otoczeniu
ℜ
(
Δ
x
∈
x
−
Δ +
,
x
,
Δ
>
0
z wyjątkiem
x
0
0
0
lub
w przedziale
(
)
x
Δ
−
,
x
0
0
lub
w przedziale
(
Δ
x
0
,
x
+
0
Mówimy, że krzywa
y
=
f
(
x
)
ma asymptotę pionową
x
= gdy:
x
0
lim
0
f
(
x
)
=
+∞
lub
lim
0
f
(
x
)
=
−∞
x
→
x
x
→
x
lewostronną asymptotę pionową
 lim
0
f
(
x
)
=
+∞
lub
lim
0
f
(
x
)
=
−∞
−
−
x
→
x
x
→
x
prawostronną asymptotę pionową
lim
0
f
(
x
)
=
+∞
lub
lim
0
f
(
x
)
=
−∞
+
+
x
→
x
x
→
x
Krzywa
y
=
log
x
ma asymptotę pionową x=0 . Jest to asymptota
a
prawostronna.
c)
niech funkcja rzeczywista
f
będzie określona dla
x
>
x
x
<
x
x
∈
ℜ
0
0
0
Mówimy, że prosta
y
=
ax
+
b
jest asymptotą ukośną krzywej
y
=
f
(
x
)
przy
x
→
+∞
(
( )
)
0
(
( )
)
0
gdy:
lim
f
x
−
ax
−
b
=
x
> ,
x
lim
f
x
−
ax
−
b
=
x
<
x
x
→
−∞
0
0
x
→
+∞
x
→
−∞
Oraz
f
(
x
)
≠
ax
+
b
x
> ,
x
f
(
x
)
≠
ax
+
b
x
<
x
0
0
TWIERDZENIE 1
Niech funkcja rzeczywista
f
będzie określona dla
x
>
x
x
∈
ℜ
.
0
0
Prosta
y
=
ax
+
b
jest
ASYMPTOTĄ UKOŚNĄ
krzywej
y
=
f
(
x
)
przy
wtedy i
x
→
+∞
tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica
f
(
x
)
(
( )
)
b
lim
=
a
oraz
lim
f
x
−
ax
=
x
x
→
+∞
x
+∞
Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy,
x
<
x
x
→
−∞
0
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hannaeva.xlx.pl