Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Matematyka A, kolokwium, 27 kwietnia 2012, 16:05 – 18:00
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elektro-
nicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (3 pt.)
Udowodnic, ze dla kazdej pary liczb calkowitych
a,b
istnieje taka para liczb calkowitych
16
x
y
a
b
17
x,y
, ze zachodzi rownosc:
=
.
17
18
16
17
(2 pt.)
Znalezc wartosci wlasne macierzy
.
17
18
16
−
1
17
(2 pt.)
Znalezc macierz
i jej wartosci oraz wektory wlasne.
17
18
(2 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 33
k
v
k
?
(1 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 333
k
v
k
?
0
1
1 3 0
−
1 1 0
2
−
1
−
2
@
A
.
2.
Niech
A
=
(2 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
−
1
.
(2 pt.)
(2 pt.)
Znalezc wartosci i
wszystkie
wektory wlasne macierzy
A
3
i macierzy
A
2012
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
A
3
i
A
2012
.
Niech
F
(
x
) =
2
·
A
·
x
. Czy F jest symetria
,
lub obrotem?
1
(2 pt.)
0
2
−
p
2
−
2
−
2 + 2
p
2
1
1
0
1
1
0
1
@
A
,
v
=
@
A
3.
Niech
M
=
1
−
1
1
−
p
2
−
1
−
1 + 2
p
2
(2 pt.)
Obliczyc
M
·
v
.
(3 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
8
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
M
−
8
i
M
2009
.
(3 pt.)
4. (10 pt.)
Znalezc rozwia
,
zanie ogolne rownania
x
0
(
t
) = sin
t
·
x
(
t
)
2
i takie rozwia
,
zanie
x
, ze
x
(0) = 0
.
5. (10 pt.)
Duzy garnek swiezo ugotowanej zupy o temperaturze 100
C
chlodzony jest w bieza
,
cej
wodzie o temperaturze 5
C
; zupa jest mieszana, wie
,
c mozna przyja
,
c, ze jej temperatura jest taka
sama we wszystkich punktach garnka. W cia
,
gu 10 minut temperatura zupy obnizona zostala do 60
C
.
W jakim czasie garnek ostygnie do temperatury 20
C
?
Wiadomo, ze obowia
,
zuje prawo stygnie
,
cia Newtona:
„ szybkosc zmniejszania sie
,
temperatury ukladu
jest proporcjonalna do roznicy temperatur pomie
,
dzy ukladem a otoczeniem.”
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elektro-
nicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (3 pt.)
Udowodnic, ze dla kazdej pary liczb calkowitych
a,b
istnieje taka para liczb calkowitych
16
x
y
a
b
17
x,y
, ze zachodzi rownosc:
=
.
17
18
16
17
(2 pt.)
Znalezc wartosci wlasne macierzy
.
17
18
16
−
1
17
(2 pt.)
Znalezc macierz
i jej wartosci oraz wektory wlasne.
17
18
(2 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 33
k
v
k
?
(1 pt.)
Czy istnieje taki niezerowy wektor
v
, ze
k
A
v
k
= 333
k
v
k
?
0
1
1 3 0
−
1 1 0
2
−
1
−
2
@
A
.
2.
Niech
A
=
(2 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
A
−
1
.
(2 pt.)
(2 pt.)
Znalezc wartosci i
wszystkie
wektory wlasne macierzy
A
3
i macierzy
A
2012
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
A
3
i
A
2012
.
Niech
F
(
x
) =
2
·
A
·
x
. Czy F jest symetria
,
lub obrotem?
1
(2 pt.)
0
2
−
p
2
−
2
−
2 + 2
p
2
1
1
0
1
1
0
1
@
A
,
v
=
@
A
3.
Niech
M
=
1
−
1
1
−
p
2
−
1
−
1 + 2
p
2
(2 pt.)
Obliczyc
M
·
v
.
(3 pt.)
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
.
Znalezc wartosci i wektory wlasne macierzy
M
8
.
(2 pt.)
Znalezc macierze
M
−
8
i
M
2009
.
(3 pt.)
4. (10 pt.)
Znalezc rozwia
,
zanie ogolne rownania
x
0
(
t
) = sin
t
·
x
(
t
)
2
i takie rozwia
,
zanie
x
, ze
x
(0) = 0
.
5. (10 pt.)
Duzy garnek swiezo ugotowanej zupy o temperaturze 100
C
chlodzony jest w bieza
,
cej
wodzie o temperaturze 5
C
; zupa jest mieszana, wie
,
c mozna przyja
,
c, ze jej temperatura jest taka
sama we wszystkich punktach garnka. W cia
,
gu 10 minut temperatura zupy obnizona zostala do 60
C
.
W jakim czasie garnek ostygnie do temperatury 20
C
?
Wiadomo, ze obowia
,
zuje prawo stygnie
,
cia Newtona:
„ szybkosc zmniejszania sie
,
temperatury ukladu
jest proporcjonalna do roznicy temperatur pomie
,
dzy ukladem a otoczeniem.”