Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Matematyka A, egzamin poprawkowy, 31 stycznia 2012, 13:05 – 16:00
Rozwia
,
zania kolejnych zadan nalezy pisac na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elek-
tronicznych; jesli ktos ma, musi wyla
,
czyc i schowac!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zo-
staly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. 3 pt.
Zdefiniowac log
d
b
pamie
,
taja
,
c o zalozeniach o
d
i
b
.
7 pt.
Rozwia
,
zac rownanie log
10
(
x
−
2) + log
10
(
x
+ 9) +
2
log
10
0
,
25 = 1 +
4
log
10
81
−
log
10
(
x
+ 2) .
2. 3 pt.
Podac definicje
,
kosinusa, sinusa i tangensa dowolnego ka
,
ta.
4 pt.
Rozwia
,
zac nierownosc 8 sin
4
t
−
6 sin
2
t
+ 1
<
0 .
3 pt.
Zilustrowac jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu
x
2
+
y
2
= 1 .
3. 10 pt.
Obliczyc pole obszaru ograniczonego przez proste
x
= 0 ,
x
= 1 oraz wykresy funkcji
y
=
x
·
2
x
,
y
=
x
−
1
x
+1
.
4.
Niech
f
(
x
) =
x
2
/
3
(1
−
x
)
4
/
3
(
x
2
+ 1)
−
2
/
3
.
Zachodza
,
wtedy rownosci:
f
0
(
x
) =
3
(
−
1 + 3
x
+
x
2
+
x
3
)
x
−
1
/
3
(1
−
x
)
1
/
3
(
x
2
+ 1)
−
5
/
3
,
f
00
(
x
) =
−
9
(1 + 6
x
+ 7
x
2
−
32
x
3
+ 7
x
4
+ 2
x
5
+
x
6
)
x
−
4
/
3
(1
−
x
)
−
2
/
3
(
x
2
+ 1)
−
8
/
3
.
Wielomian
−
1 + 3
x
+
x
2
+
x
3
ma jeden pierwiastek:
x
1
0
,
3 , jest on pojedynczy, a wielomian
1 + 6
x
+ 7
x
2
−
32
x
3
+ 7
x
4
+ 2
x
5
+
x
6
ma dwa pierwiastki:
x
2
0
,
69 i
x
3
1
,
86 , oba pojedyncze.
2 pt.
Rozstrzygna
,
c, czy istnieje
f
0
(0) . Jesli istnieje, obliczyc ja
,
.
1 pt.
Rozstrzygna
,
c, czy istnieje
f
00
(1) . Jesli istnieje, obliczyc ja
,
.
2 pt.
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
maleje oraz te, na ktorych rosnie.
2 pt.
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
jest wypukla oraz te, na ktorych jest wkle
,
sla.
3 pt.
Naszkicowac wykres funkcji
f
korzystaja
,
c z uzyskanych informacji.
2
ln(1
−
x
2
)
·
(sin
x
−
x
)
·
cos(sin(
x
2
))
·
(
p
36 +
x
−
6)
tg
2
x
·
(
p
1
−
x
2
−
cos
x
)
·
2
cos(3
x
)
−
tg
x
5. (10 pt.)
Znalezc granice
,
lim
x
!
0
.
6.
Niech
A
= (0
,
0
,
3) ,
B
= (1
,
0
,
1) ,
v
= [2
,
1
,
2] ,
w
= [0
,
1
,
1] .
2 pt.
Znalezc iloczyn
v
×
w
.
2 pt.
Znalezc rownania plaszczyzn
A
i
B
przechodza
,
cych odpowiednio przez punkty
A
i
B
rownoleglych do obu wektorow
v
,
w
.
2 pt.
Obliczyc kosinus ka
,
ta mie
,
dzy wektorami
w
×
v
i [0
,
0
,
1]
2 pt.
Obliczyc odleglosc plaszczyzny
A
od plaszczyzny
B
.
1 pt.
Znalezc zbior zlozony ze wszystkich punktow wspolnych prostej
`
A
przechodza
,
cej przez
punkt
A
i rownoleglej do wektora
v
oraz prostej
`
B
przechodza
,
cej przez punkt
B
i row-
noleglej do wektora
w
.
1 pt.
Znalezc najmniejsza
,
z liczb
k
X
−
Y
k
, gdzie
X
2
`
A
,
Y
2
`
B
.
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
(1 +
x
)
a
= 1 +
ax
+
2
x
2
+
3
x
3
+
···
=
P
n
=0
n
x
n
,
cos
x
0
=
−
sin
x
,
+
···
=
P
n
=0
(
−
1)
n x
2
n
+1
sin
x
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
(2
n
+1)!
,
7!
ln(1 +
x
) =
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
1
3
x
3
+
15
x
5
+
2
315
x
7
+
···
,
17
tg
x
=
x
+
+
...
.
4
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Rozwia
,
zania kolejnych zadan nalezy pisac na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elek-
tronicznych; jesli ktos ma, musi wyla
,
czyc i schowac!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zo-
staly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. 3 pt.
Zdefiniowac log
d
b
pamie
,
taja
,
c o zalozeniach o
d
i
b
.
7 pt.
Rozwia
,
zac rownanie log
10
(
x
−
2) + log
10
(
x
+ 9) +
2
log
10
0
,
25 = 1 +
4
log
10
81
−
log
10
(
x
+ 2) .
2. 3 pt.
Podac definicje
,
kosinusa, sinusa i tangensa dowolnego ka
,
ta.
4 pt.
Rozwia
,
zac nierownosc 8 sin
4
t
−
6 sin
2
t
+ 1
<
0 .
3 pt.
Zilustrowac jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu
x
2
+
y
2
= 1 .
3. 10 pt.
Obliczyc pole obszaru ograniczonego przez proste
x
= 0 ,
x
= 1 oraz wykresy funkcji
y
=
x
·
2
x
,
y
=
x
−
1
x
+1
.
4.
Niech
f
(
x
) =
x
2
/
3
(1
−
x
)
4
/
3
(
x
2
+ 1)
−
2
/
3
.
Zachodza
,
wtedy rownosci:
f
0
(
x
) =
3
(
−
1 + 3
x
+
x
2
+
x
3
)
x
−
1
/
3
(1
−
x
)
1
/
3
(
x
2
+ 1)
−
5
/
3
,
f
00
(
x
) =
−
9
(1 + 6
x
+ 7
x
2
−
32
x
3
+ 7
x
4
+ 2
x
5
+
x
6
)
x
−
4
/
3
(1
−
x
)
−
2
/
3
(
x
2
+ 1)
−
8
/
3
.
Wielomian
−
1 + 3
x
+
x
2
+
x
3
ma jeden pierwiastek:
x
1
0
,
3 , jest on pojedynczy, a wielomian
1 + 6
x
+ 7
x
2
−
32
x
3
+ 7
x
4
+ 2
x
5
+
x
6
ma dwa pierwiastki:
x
2
0
,
69 i
x
3
1
,
86 , oba pojedyncze.
2 pt.
Rozstrzygna
,
c, czy istnieje
f
0
(0) . Jesli istnieje, obliczyc ja
,
.
1 pt.
Rozstrzygna
,
c, czy istnieje
f
00
(1) . Jesli istnieje, obliczyc ja
,
.
2 pt.
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
maleje oraz te, na ktorych rosnie.
2 pt.
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
jest wypukla oraz te, na ktorych jest wkle
,
sla.
3 pt.
Naszkicowac wykres funkcji
f
korzystaja
,
c z uzyskanych informacji.
2
ln(1
−
x
2
)
·
(sin
x
−
x
)
·
cos(sin(
x
2
))
·
(
p
36 +
x
−
6)
tg
2
x
·
(
p
1
−
x
2
−
cos
x
)
·
2
cos(3
x
)
−
tg
x
5. (10 pt.)
Znalezc granice
,
lim
x
!
0
.
6.
Niech
A
= (0
,
0
,
3) ,
B
= (1
,
0
,
1) ,
v
= [2
,
1
,
2] ,
w
= [0
,
1
,
1] .
2 pt.
Znalezc iloczyn
v
×
w
.
2 pt.
Znalezc rownania plaszczyzn
A
i
B
przechodza
,
cych odpowiednio przez punkty
A
i
B
rownoleglych do obu wektorow
v
,
w
.
2 pt.
Obliczyc kosinus ka
,
ta mie
,
dzy wektorami
w
×
v
i [0
,
0
,
1]
2 pt.
Obliczyc odleglosc plaszczyzny
A
od plaszczyzny
B
.
1 pt.
Znalezc zbior zlozony ze wszystkich punktow wspolnych prostej
`
A
przechodza
,
cej przez
punkt
A
i rownoleglej do wektora
v
oraz prostej
`
B
przechodza
,
cej przez punkt
B
i row-
noleglej do wektora
w
.
1 pt.
Znalezc najmniejsza
,
z liczb
k
X
−
Y
k
, gdzie
X
2
`
A
,
Y
2
`
B
.
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
(1 +
x
)
a
= 1 +
ax
+
2
x
2
+
3
x
3
+
···
=
P
n
=0
n
x
n
,
cos
x
0
=
−
sin
x
,
+
···
=
P
n
=0
(
−
1)
n x
2
n
+1
sin
x
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
(2
n
+1)!
,
7!
ln(1 +
x
) =
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
1
3
x
3
+
15
x
5
+
2
315
x
7
+
···
,
17
tg
x
=
x
+
+
...
.
4