Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.

Matematyka A, kolokwium, 14 stycznia 2012, 9:05 – 10:55
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elek-
tronicznych; jesli ktos ma, musi wyla
,
czyc i schowac!
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore
zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (6 pt.)
Wykazac, ze niezaleznie od wyboru liczb
a,b
2
R rownanie tg
x
=
ax
+
b
ma
w przedziale (
−
2
,
2
) co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i co nawyzej trzy
rozne pierwiastki rzeczywiste.
(1 pt.)
Wskazac pare
,
liczb
a,b
2
R, dla ktorych rownanie tg
x
=
ax
+
b
ma w przedziale
(
−
2
,
2
) dokladnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
(1 pt.)
Wskazac pare
,
liczb
a,b
2
R, dla ktorych rownanie tg
x
=
ax
+
b
ma w przedziale
(
−
2
,
2
) dokladnie trzy pierwiastki rzeczywiste.
(2 pt.)
Wskazac pare
,
liczb
a,b
2
R, dla ktorych rownanie tg
x
=
ax
+
b
ma w przedziale
(
−
2
,
2
) dokladnie dwa pierwiastki rzeczywiste.
l
n(1 + s
in
x
)(tg
x
−
x
)
e
arctg
x
p
1 +
x
2
+ cos
x
−
2 cos(
x
2012
)
.
2. (10 pt.)
Znalezc granice
,
lim
x
!
0
3.
Wykazac, ze istnieje taka liczba
>
0 , ze z nierownosci 0
< x <
wynika nierownosc
x
·
3
q
1
−
x
2
2
<
sin
x
.
dla
x
6
=
±
1 . Wiadomo, ze jesli
x
2
2{
1
,
2
}
, to zachodza
,
4.
Niech
'
(
x
) =
x
(2
x
2
−
1)
9
/
7
(
x
2
−
1)
−
9
/
7
wzory
'
0
(
x
) =
1
7
(2
x
2
−
1)
2
/
7
(
x
2
−
1)
−
16
/
7
(14
x
4
−
39
x
2
+ 7) oraz
18
'
00
(
x
) =
49
x
(14
x
4
+ 39
x
2
−
21)(
x
2
−
1)
−
23
/
7
(2
x
2
−
1)
−
5
/
7
.
Wiadomo tez, ze 14
x
4
−
39
x
2
+ 7 = 0
,
x
=
x
1
−
1
,
610
, x
=
x
2
−
0
,
439
, x
=
x
3
0
,
439
lub
x
=
x
4
1
,
610
14
x
4
+ 39
x
2
−
21 = 0
,
x
=
x
5
−
0
,
680
i
albo
x
=
x
6
0
,
680 .
(1 pt.)
Znalezc
'
0
(
−
p
2
) oraz
'
0
(
p
2
) lub wykazac, ze te pochodne nie istnieja
,
.
(2 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
'
rosnie i te, na ktorych maleje.
(2 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
'
jest wypukla i te, na ktorych jest wkle
,
sla,
znalezc punkty przegie
,
cia funkcji
'
.
(1 pt.)
Wykazac, ze jesli 13
< s < t
, to
'
7
s
+
7
t
<
7
'
(
s
) +
3
3
7
'
(
t
) .
(4 pt.)
W oparciu o uzyskane informacje naszkicowac wykres funkcji
'
.
9
x
3
−
3
x
znalezc punkt leza
,
cy najblizej punktu (
−
15
,
−
5) .
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
(1 +
x
)
a
= 1 +
ax
+
2
1
5. (10 pt.)
Na wykresie funkcji
y
=
x
2
+
3
x
3
+
···
=
P
n
=0
n
x
n
,
cos
x
0
=
−
sin
x
,
+
···
=
P
n
=0
(
−
1)
n x
2
n
+1
sin
x
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
(2
n
+1)!
,
7!
1
3
x
3
+
15
x
5
+
2
315
x
7
+
···
.
17
tg
x
=
x
+
 
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hannaeva.xlx.pl