Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 15
15. Fale w ośrodkach sprężystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy
falami
mechanicznymi
. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położe-
nia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia.
Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne
części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drga-
nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty
pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazu-
jąc mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki prze-
suwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii
.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych
potrzebny jest ośrodek
. To właściwości spręży-
ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
• fale poprzeczne (np. lina)
• fale podłużne (np. sprężyna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyróżniamy
• fale płaskie (w jednym kierunku)
• fale kuliste
15.2 Fale rozchodzące się w przestrzeni
Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku
x
, wzdłuż którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np.
t
= 0 kształt sznura można opisać funkcją
y
= f(
x
),
t
= 0
y
– przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie
t
fala
przesuwa się o
v
t
w prawo (
v
- prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
postać
y
= f(
x
−
v
t
),
t
Oznacza to, że w chwili
t
w punkcie
x
=
v
t
, kształt jest taki sam jak w chwili
t
= 0
w punkcie
x
= 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość
y
(np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby
y
było cały
15-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, więc argument
x
−
-
v
t
musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas ro-
śnie to musi też rosnąć
x
(czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie
y
= f(
x+
v
t
). Podsumowując, dla wybranej
fazy
mamy
x
−
v
t
= const.
Różniczkując względem czasu otrzymujemy
d
x
−
v
=
0
d
t
czyli
d
x
=
v
d
t
To jest
prędkość fazowa
. Zauważmy, że dla danego
t
mamy równanie f(
x
), a dla danego
miejsca sznura
x
mamy równanie f(
t
).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili
t
= 0 kształt sznura
jest opisany funkcją
y
=
A
sin
2
x
λ
gdzie
A
jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo
w punktach
x
,
x +
λ,
x +
2λ,
x
+ 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość
między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie
t
y
=
A
sin
2
π
(
x
−
v
t
)
λ
To jest równanie fali biegnącej.
Okres
T
jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc:
λ
=
v
T
stąd
y
=
A
sin
2
x
−
t
(15.1)
λ
T
Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach
x
,
x +
λ,
x +
2λ,
x
+ 3λ itd.,
oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach
t
,
t
+
T
,
t
+2
T
, itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową
k
= 2π/λ i częstość ω = 2π/
T
.
Wówczas
y
=
A
sin(
kx
-ω
t
) lub
y
= Asin(
kx
+ω
t
) dla fal biegnących w prawo i lewo.
Widać, że prędkość fazowa fali
v
jest dana wzorem
v
= λ/
T
= ω/
k
(15.2)
oraz, że dla danego
x
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali
v
to śledzimy jak przemieszcza się w czasie
wybrana część fali
czyli
określona faza
.
Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprę-
żystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę
F
(np. im większa siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura
m
oraz jego długością
l
. Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zależność prędkości
v
fali od siły
F
i od µ =
m
/
l
tj. masy przypa-
dającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości d
x
pokazany na rysunku.
Końce wycinka sznura tworzą z osią
x
małe kąty θ
1
i θ
2
. Dla małych kątów
θ ≅ sinθ ≅ d
y
/d
x
. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku
y
wy-
nosi
F
wyp
=
F
sin
θ
2
−
F
sin
θ
1
=
F
θ
2
−
F
θ
1
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
d
m
= µ⋅d
x
i jego przyspieszenia. Stąd
∂
v
∂
2
y
F
=
F
θ
−
F
θ
=
(
µ
dx
)
y
=
(
µ
dx
)
wyp
2
1
∂
t
∂
t
2
lub
∂
θ
=
µ
2
y
∂
x
∂
F
t
2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂
y
bo wy-
chylenie
y
jest funkcją dwóch zmiennych
y
= f
(
x
,
t
) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej
x
jak i zmiennej
t
). Uwzględniają, że θ = ∂
y
/∂
x
otrzymujemy
∂
2
y
µ
2
y
=
(15.3)
∂
x
2
F
∂
t
2
15-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to
równanie falowe
dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
2
y
=
−
A
ω
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
t
2
oraz
∂
2
y
=
−
Ak
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
x
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k
=
2
µ
F
2
skąd możemy obliczyć prędkość fali
v
=
ω
F
k
=
µ
(15.4)
Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędko-
ścią niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
∂
2
y
1
∂
2
y
=
(15.5)
∂
x
2
v
2
∂
t
2
to otrzymamy
równanie falowe
, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzą-
cych się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę
F
jaka działa na koniec
struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku
y
).
15-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
W tym celu posłużymy się zależnością
P
=
F
y
v
y
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest
v
y
= ∂
y
/∂
t
, a składowa siły
F
w
kierunku
y
wynosi
F
sinθ . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy
P
=
F
∂
sin
t
y
θ
∂
Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ ≅ – ∂
y
/∂
x
(znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). Stąd
P
=
−
F
∂
y
∂
y
∂
t
∂
x
Obliczamy teraz pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
y
=
−
A
ω
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
t
∂
y
=
A
k
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
x
i podstawiamy do wyrażenia na moc
P
=
FA
2
k
ω −
cos
2
(
k
x
ω
t
)
(15.6)
Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając
z tego, że
k
= ω
/
v
, ω = 2π
f
oraz, że
v
=
F
/
µ
otrzymujemy
P
=
4
π
2
A
2
f
2
µ
v
cos
2
(
kx
−
ω
t
)
(15.7)
Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach róż-
niących się o ϕ. Równania tych fal są następujące
y
1
=
A
sin(
kx –
ω
t –
ϕ)
y
2
=
A
sin(
kx –
ω
t
)
15-5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Wykład 15
15. Fale w ośrodkach sprężystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy
falami
mechanicznymi
. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położe-
nia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia.
Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne
części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drga-
nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty
pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazu-
jąc mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki prze-
suwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii
.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych
potrzebny jest ośrodek
. To właściwości spręży-
ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
• fale poprzeczne (np. lina)
• fale podłużne (np. sprężyna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyróżniamy
• fale płaskie (w jednym kierunku)
• fale kuliste
15.2 Fale rozchodzące się w przestrzeni
Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku
x
, wzdłuż którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np.
t
= 0 kształt sznura można opisać funkcją
y
= f(
x
),
t
= 0
y
– przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie
t
fala
przesuwa się o
v
t
w prawo (
v
- prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
postać
y
= f(
x
−
v
t
),
t
Oznacza to, że w chwili
t
w punkcie
x
=
v
t
, kształt jest taki sam jak w chwili
t
= 0
w punkcie
x
= 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość
y
(np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby
y
było cały
15-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, więc argument
x
−
-
v
t
musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas ro-
śnie to musi też rosnąć
x
(czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie
y
= f(
x+
v
t
). Podsumowując, dla wybranej
fazy
mamy
x
−
v
t
= const.
Różniczkując względem czasu otrzymujemy
d
x
−
v
=
0
d
t
czyli
d
x
=
v
d
t
To jest
prędkość fazowa
. Zauważmy, że dla danego
t
mamy równanie f(
x
), a dla danego
miejsca sznura
x
mamy równanie f(
t
).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili
t
= 0 kształt sznura
jest opisany funkcją
y
=
A
sin
2
x
λ
gdzie
A
jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo
w punktach
x
,
x +
λ,
x +
2λ,
x
+ 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość
między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie
t
y
=
A
sin
2
π
(
x
−
v
t
)
λ
To jest równanie fali biegnącej.
Okres
T
jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc:
λ
=
v
T
stąd
y
=
A
sin
2
x
−
t
(15.1)
λ
T
Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach
x
,
x +
λ,
x +
2λ,
x
+ 3λ itd.,
oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach
t
,
t
+
T
,
t
+2
T
, itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową
k
= 2π/λ i częstość ω = 2π/
T
.
Wówczas
y
=
A
sin(
kx
-ω
t
) lub
y
= Asin(
kx
+ω
t
) dla fal biegnących w prawo i lewo.
Widać, że prędkość fazowa fali
v
jest dana wzorem
v
= λ/
T
= ω/
k
(15.2)
oraz, że dla danego
x
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali
v
to śledzimy jak przemieszcza się w czasie
wybrana część fali
czyli
określona faza
.
Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprę-
żystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę
F
(np. im większa siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura
m
oraz jego długością
l
. Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zależność prędkości
v
fali od siły
F
i od µ =
m
/
l
tj. masy przypa-
dającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości d
x
pokazany na rysunku.
Końce wycinka sznura tworzą z osią
x
małe kąty θ
1
i θ
2
. Dla małych kątów
θ ≅ sinθ ≅ d
y
/d
x
. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku
y
wy-
nosi
F
wyp
=
F
sin
θ
2
−
F
sin
θ
1
=
F
θ
2
−
F
θ
1
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
d
m
= µ⋅d
x
i jego przyspieszenia. Stąd
∂
v
∂
2
y
F
=
F
θ
−
F
θ
=
(
µ
dx
)
y
=
(
µ
dx
)
wyp
2
1
∂
t
∂
t
2
lub
∂
θ
=
µ
2
y
∂
x
∂
F
t
2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂
y
bo wy-
chylenie
y
jest funkcją dwóch zmiennych
y
= f
(
x
,
t
) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej
x
jak i zmiennej
t
). Uwzględniają, że θ = ∂
y
/∂
x
otrzymujemy
∂
2
y
µ
2
y
=
(15.3)
∂
x
2
F
∂
t
2
15-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to
równanie falowe
dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
2
y
=
−
A
ω
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
t
2
oraz
∂
2
y
=
−
Ak
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
x
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k
=
2
µ
F
2
skąd możemy obliczyć prędkość fali
v
=
ω
F
k
=
µ
(15.4)
Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędko-
ścią niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
∂
2
y
1
∂
2
y
=
(15.5)
∂
x
2
v
2
∂
t
2
to otrzymamy
równanie falowe
, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzą-
cych się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę
F
jaka działa na koniec
struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku
y
).
15-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
W tym celu posłużymy się zależnością
P
=
F
y
v
y
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest
v
y
= ∂
y
/∂
t
, a składowa siły
F
w
kierunku
y
wynosi
F
sinθ . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy
P
=
F
∂
sin
t
y
θ
∂
Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ ≅ – ∂
y
/∂
x
(znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). Stąd
P
=
−
F
∂
y
∂
y
∂
t
∂
x
Obliczamy teraz pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
y
=
−
A
ω
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
t
∂
y
=
A
k
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
x
i podstawiamy do wyrażenia na moc
P
=
FA
2
k
ω −
cos
2
(
k
x
ω
t
)
(15.6)
Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając
z tego, że
k
= ω
/
v
, ω = 2π
f
oraz, że
v
=
F
/
µ
otrzymujemy
P
=
4
π
2
A
2
f
2
µ
v
cos
2
(
kx
−
ω
t
)
(15.7)
Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach róż-
niących się o ϕ. Równania tych fal są następujące
y
1
=
A
sin(
kx –
ω
t –
ϕ)
y
2
=
A
sin(
kx –
ω
t
)
15-5