Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
124
24.03.99
Piotr Górnik
Wydział
Elektryczny
semestr IV
grupa A1
Prowadzący ADAM BUCZEK
Przygotowanie
Wykonanie
Ocena
Temat: Sprawdzenie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego za pomocą wahadła Oberbecka
1. Podstawy teoretyczne.
Podstawowym równaniem dynamiki w ruchu postępowym jest równanie wyrażające drugą zasadę Newtona: . W przypadku ruchu obrotowego drugą zasadę dynamiki wyraża się za pomocą momentu bezwładności I oraz przyspieszenia kątowego . W celu dokonania tego przejścia rozważmy ciało sztywne obracające się wokół osi SS’. Załóżmy, że na to ciało działa siła przyłożona w punkcie P. W nieskończenie małym przedziale czasu dt punkt P przemieści się o ,tzn. jego promień wodzący zakreśli kąt . Praca wykonana przez tę siłę:
(1)
Gdyby na ciało sztywne działało więcej sił, to przez należy rozumieć wypadkowy moment siły względem osi SS’. Po podzieleniu obustronnie wyrażenia (1) przez przedział czasu dt, otrzymamy wzór na moc w ruchu obrotowym:
(2)
w którym oznacza prędkość kątową ciała. Moc w ruchu obrotowym możemy także przedstawić jako przyrost energii kinetycznej ciała w jednostce czasu. Energia kinetyczna związana z obrotem ciała wynosi . Jeżeli I=const, a oś obrotu jest nieruchoma, to:
(3)
Z porównania zależności (2) i (3) otrzymujemy, że:
(4)
Powyższe równanie wyraża drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego. Zasadę tę można również zapisać w postaci:
lub (5)
przy czym i oznacza moment pędu lub inaczej kręt. W przypadku gdy moment sił działających na ciało , to , czyli . Równanie to wyraża pierwszą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, zgodnie z którą ciało sztywne pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym obrotowym, jeżeli moment sił zewnętrznych .
2. Zasada pomiaru
Ruch obrotowy wahadła Oberbecka wywołuje moment siły o wartości:
(6)
gdzie m oznacza masę ruchomego obciążnika, g – przyspieszenie ziemskie, a r – promień krążka z nawiniętą nicią. Przyspieszenie kątowe wahadła można zapisać w postaci:
(7)
Przyspieszenie liniowe a możemy wyznaczyć z pomiaru wysokości h spadania obciążnika oraz czasu t trwania tego spadku. Ostatecznie:
(8)
Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego rozważanego wahadła ma postać:
(9)
gdzie I jest całkowitym momentem bezwładności wahadła. Moment ten o postaci:
(10)
jest sumą dwóch składników – I0 stanowi tę część momentu bezwładności wahadła, która jest niezależna od położenia walców o masach mW zamocowanych na krzyżaku w odległości d od osi obrotu.
Po podstawieniu zależności (6), (8) i (10) do równania (9) otrzymamy:
(11)
co można sprowadzić do postaci:
(12)
Po wprowadzeniu oznaczeń:
, (13)
otrzymamy, że:
(14)
Powyższy związek liniowy między kwadratem czasu spadku obciążnika i kwadratem odległości mas mW od osi obrotu jest równoważny równaniu (9). Gdy wykreślimy funkcję (14) w układzie xy, w którym x=d2, y=t2, możemy wyznaczyć współczynniki a i b będące odpowiednio współczynnikiem nachylenia prostej i wartością funkcji dla x=0. Wartość współczynnika b po rozwiązaniu zależności (13) pozwala obliczyć moment bezwładności I0:
(15)
3. Pomiary
mW=40±0,1g
r=0,02±0,001m
h=0,47±0,001m
m=5*40±0,1=200±0,5g
4. Obliczenia
Na podstawie regresji liniowej wyznaczamy parametry:
a=0,0151
b=1,1265
Zgodnie ze wzorem (15): obliczam moment bezwładności ( przyjmuję g=9,81m/s2 ):
5. Wnioski
Otrzymany przeze mnie wynik wydaje się być prawdopodobny ( m.in. ze względu na dużą dokładność pomiarów i bliską ideałowi liniowość zależności t2=f(d2) ). Trudno jednakże na podstawie tego wyniku wnioskować o prawdziwości drugiej zasady dynamiki, na której to podstawie dokonałem obliczeń. Jest tak dlatego, że nie miałem możliwości obliczenia szukanej wielkości za pomocą alternatywnej, nie opierającej się na powyższym prawie, metody. W tej sytuacji ( w skrypcie nie ma ani słowa na temat sprawdzenia tak otrzymanego wyniku ) tytuł ćwiczenia wydaje się być „nieco dziwny”.
str. 4