Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
EKONOMETRIA 1
wykład 11
dr Beata Madras-Kobus
Weryfikacja merytoryczna oszacowanego modelu
obejmuje interpretację oszacowań parametrów
modelu i ich analizę, polegającą na badaniu zgodności
znaków ocen parametrów z wiedzą ekonomiczną o
modelowanym zjawisku.
Oszacowany
Dopasowanie modelu do danych
empirycznych
Po oszacowaniu parametrów modelu
ekonometrycznego należy zbadać stopień
zgodności modelu z danymi empirycznymi.
model
ekonometryczny
przyjmuje
postać:
Analiza dopasowania modelu do danych
empirycznych polega na porównaniu wartości
empirycznych
Ocena a parametru strukturalnego
α
,występującego
przy zmiennej X w modelu ekonometrycznym
oznacza, o ile przeciętnie wzrośnie (gdy a>0) lub
zmaleje (gdy a<0) wartość zmiennej objaśnianej Y,
gdy wartość zmiennej X wzrośnie o jedną jednostkę
3
zmiennej
objaśnianej
y
i
,z
wartościami
teoretycznymi
wyznaczonymi
z
modelu
,i=1,2,…,n.
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Odchylenie standardowe reszt
Model
tym
lepiej
pasuje
do
danych
empirycznych im reszty
O dopasowaniu modelu ekonometrycznego do danych
empirycznych informuje wariancja składnika losowego
. Informuje ona o zmienności składnika losowego.
Nieobciążonym
co do wartości bezwzględnej są mniejsze.
i
zgodnym
estymatorem
wariancji
składnika losowego jest:
Miary określające stopień zgodności modelu z
danymi
empirycznymi
obliczane
są na
gdzie:
e –
podstawie wartości reszt.
wektor reszt, czyli wektor odchyleń rzeczywistych wartości
zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych,
n –
liczba obserwacji
1
Analiza wariancji zmiennej objaśnianej
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Odchylenie standardowe reszt
Suma kwadratów reszt jako miara dopasowania
modelu do danych empirycznych ma tę wadę, że
przeskalowanie zmiennej objaśnianej powoduje
zmianę jej wartości. Z tego powodu w praktyce
częściej wykorzystuje się miary wyprowadzone dzięki
dekompozycji wariancji zmiennej objaśnianej.
Całkowitą zmienność zmiennej objaśnianej określaną
jako:
Odchylenie standardowe reszt modelu (in.
standardowy błąd estymacji) wyznacza się ze
wzoru:
Odchylenie standardowe reszt wskazuje, o ile
przeciętnie zaobserwowane wartości zmiennej
objaśnianej
różnią się od
wartości
można rozbić na dwie części:
teoretycznych
tej
zmiennej
wyznaczonych
z
modelu.
Wyrażenie:
czyli:
Odejmując średnią y od obu stron otrzymujemy:
można zapisać jako:
(*)
Następnie tożsamość (*) podnosimy obustronnie do
kwadratu:
Wiadomo, że:
Po zsumowaniu uzyskujemy:
Zatem:
i stąd:
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Analiza wariancji zmiennej objaśnianej
w programie Excel
gdzie:
ogólna suma kwadratów odchyleń wartości
empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej, całkowita zmienność zmiennej
suma kwadratów odchyleń wartości
teoretycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej,
ANALIZA
WARIANCJI
df
SS
MS
F
Istotność F
Wartość
statystyki F
poziom
istotności
Regresja
k
SSR
SSR/k
zmienność zmiennej
objaśnianej
wyjaśniona przez model
Resztkowy
n-k-1
SSE
SSE/(n-k-1)
Razem
n-1
SST
suma kwadratów reszt, zmienność zmiennej
objaśnianej niewyjaśniona przez model
ANALIZA
WARIANCJI
Całkowita zmienność zmiennej objaśnianej, SST, jest zatem sumą
zmienności zmiennej objaśnianej wyjaśnianej przez model (SSR)
oraz
df
SS
MS
F
Istotność F
Regresja
2
0,594
0,297
346,5
1E-07
zmienności
zmiennej
objaśnianej
niewyjaśnianej
przez
Resztkowy
7
0,006
0,000857143
model (SSE):
Razem
9
0,6
12
2
Współczynnik determinacji
Inne miary dopasowania modelu do danych
Dzieląc obustronnie powyższy wzór przez SST
otrzymujemy:
Współczynnik
korelacji
wielorakiej
R
jest
pierwiastkiem
kwadratowym
ze
współczynnika
determinacji R
2
Wyrażenie
SSR/SST
nazywane
jest
współczynnikiem
determinacji i oznaczane R
2:
Współczynnik korelacji wielorakiej można traktować
jako współczynnik korelacji pomiędzy wartościami
empirycznymi zmiennej objaśnianej i wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej wyznaczonymi na
podstawie liniowego modelu ekonometrycznego.
Interpretacja:
Współczynnik korelacji wielorakiej informuje, w
jakim stopniu są skorelowane ze sobą empiryczne i
teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej.
Wartość współczynnika determinacji jest liczbą z przedziału [0, 1].
Gdyby dopasowanie modelu do danych było idealne to R
2
=1,
ponieważ wszystkie reszty e
t
byłyby równe 0.
Współczynnik determinacji R
2
informuje, w jakim stopniu
zmienność zmiennej objaśnianej wyjaśniona została przez model.
Badając jego istotność stawiamy hipotezy:
Z tablic testu F dla zadanego poziomu istotności
oraz
dla m
1
im
2
stopni swobody
odczytuje się wartość
krytyczną F*.
Interpretacja:
Jeśli , to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
H
0
. Oznacza to, żewspółczynnik korelacji wielorakiej
jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu
do danych jest zbyt słabe.
Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:
Jeśli , to hipotezę H
0
należy odrzucić na rzecz
hipotezy H
A
.Współczynnik korelacji wielorakiej jest
istotny, a stopień dopasowania modelu do danych jest
dostatecznie wysoki.
Ma ona rozkład Fishera-Snedecora o m
1
= 1 oraz m
2
=
n-2 stopniach swobody.
15
16
Niescentrowany współczynnik determinacji.
Współczynnik zbieżności
W przypadku gdy w modelu nie występuje wyraz
wolny, do mierzenia jakości dopasowania modelu do
danych należy rz st ć niescentrowany
współczynnik determinacji:
Wyrażenie
SSE/SST
nazywane
jest
współczynnikiem zbieżności i oznaczane φ
2
:
Niescentrowany
współczynnik
determinacji
Interpretacja: φ
2
informuje,
jaka
część całkowitej
przyjmuje wartości z przedziału [0, 1].
zmienności
zmiennej
objaśnianej
nie
została
wyjaśniona przez model.
3
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Statystyki regresji w programie Excel
Przykład 1
Korzystając z KMNK oszacować zależność wydatków
konsumpcyjnych (y
t
) od dochodów (x
t
).
Statystyki regresji
Wielokrotność R
współczynnik korelacji wielorakiej
t
wydatki
dochód
R kwadrat
współczynnik determinacji
Dopasowany R kwadrat
skorygowany współczynnik determinacji
1
150
200
Błąd standardowy
odchylenie standardowe reszt modelu
2
250
300
Obserwacje
n
3
300
400
Statystyki regresji
Wielokrotność R
4
350
400
0,99499
R kwadrat
0,99
5
400
500
Dopasowany R kwadrat
0,98714
Błąd standardowy
0,02928
6
380
500
Obserwacje
10
7
450
600
8
400
700
19
Rozwiązanie
szacujemy model:
stąd
t
30000
1
200
150
40000
2
300
250
75000
90000
3
400
300
120000
160000
4
400
350
140000
160000
5
500
400
200000
250000
6
500
380
190000
250000
czyli model ma postać:
7
600
450
270000
360000
8
700
400
280000
490000
Σ 3600
2680
1305000
1800000
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu
ekonometrycznego
Analiza wielkości błędów standardowych ocen
parametrów
Wyznaczenie standardowych błędów szacunku
parametrów a i b ma na celu sprawdzenie, czy stopień
dokładności
szacunku
wszystkich
parametrów
jest
wystarczająco wysoki.
Do
Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku
parametrów strukturalnych
α
i
β
wyznacza się ze
wzorów:
interpretacji
wygodnie
jest
posługiwać się
względnym średnim błędem szacunku:
Zbyt wielki względny średni błąd szacunku
(przekraczający 50% wartości szacowanego parametru)
przekreśla
Standardowe błędy szacunku informują, o ile przeciętnie
wartość zmiennej objaśniającej X odchyla się od wartości
średniej.
wartość poznawczą liczbowej
oceny
parametru.
24
4
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego
Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych
Estymator a
j
ma rozkład normalny o średniej
α
j
i odchyleniu
standardowym
σ
j
,comożna zapisać jako a
j
:N(
α
j
,
σ
j
).
Zatem:
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego
Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych
Oznacza to, że:
W praktyce zamiast nieznanego
σ
j
stosuje się S(a
j
), czyli:
Przedział ufności dla parametru
α
j
ma postać:
Aby zbudować przedział ufności dla parametru
α
j
,j=1,2,…,k,
przy współczynniku ufności (1-
γ
), należydobrać z tablic rozkładu
t-Studenta taką wartość t
γ
, n-(k+1)
,abyspełniona byłarelacja:
Długość przedziałuufności
zależy
od
poziomu
istotności
γ
,
liczby
stopni
swobody oraz wielkości standardowych błędów szacunku parametrów.
Przedział ufności jest tym węższy, im wyższa jest wartość poziomu istotności,
większa liczba stopni swobody (a więc bardziej liczna próba) oraz niższa
wartość standardowego błędu szacunku parametru.
Testowanie hipotez dotyczących wartości parametrów
strukturalnych
Badanie istotności zmiennych objaśniających
Test t-Studenta
Badanie istotności zmiennych objaśniających
Test t-Studenta
Interpretacja:
Jeżeli t>t* to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X
j
ma statystycznie
istotny wpływ na zmienną objaśnianą Y. Prawdopodobieństwo
popełnienia
Badając otność wpływu zmian wartości j-tej zmiennej
egzogenicznej na zmiany wartości zmiennej endogenicznej można
stosować statystyczny test istotności.
Testujemy hipotezy:
błędu,
polegającegonapodjęciu
błędnej
decyzji
H
0
:
α
j
= 0
H
A
:
α
j
weryfikacyjnej wynosi
.
0
Statystyka:
Jeżeli t<t* to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X
j
ma statystycznie nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą Y.
ma rozkład t-Studenta z n - 2 stopniami swobody.
Z tablic rozkładu t-Studenta należy odczytać wartość t* = t
γ,
n-2
Precyzja oszacowań parametrów strukturalnych
modelu ekonometrycznego w programie Excel
Standardowy
błąd
szacunku
Wartość
statystyki
t-Studenta
Parametr
strukturalny
Ocena
parametru
Dolny kraniec 95%
przedziału ufności
Górny kraniec 95%
przedziału ufności
Wartość-p
α
0
a
0
S(a
0
)
t
1
poziom
α
1
a
1
S(a
1
)
t
2
istotności
α
2
a
2
S(a
2
)
t
3
Błąd
standardowy
Współczynniki
t Stat
Wartość-p
Dolne 95%
Górne 95%
Przecięcie
-0,78
0,458444575
-1,701405234 0,132657615
-1,86404916 0,30404916
x
1
0,6
0,226778684
2,645751311
0,0331455
0,063753625 1,13624638
x
2
0,9
0,196396101
4,582575695 0,002535996
0,435597016 1,36440298
5
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
wykład 11
dr Beata Madras-Kobus
Weryfikacja merytoryczna oszacowanego modelu
obejmuje interpretację oszacowań parametrów
modelu i ich analizę, polegającą na badaniu zgodności
znaków ocen parametrów z wiedzą ekonomiczną o
modelowanym zjawisku.
Oszacowany
Dopasowanie modelu do danych
empirycznych
Po oszacowaniu parametrów modelu
ekonometrycznego należy zbadać stopień
zgodności modelu z danymi empirycznymi.
model
ekonometryczny
przyjmuje
postać:
Analiza dopasowania modelu do danych
empirycznych polega na porównaniu wartości
empirycznych
Ocena a parametru strukturalnego
α
,występującego
przy zmiennej X w modelu ekonometrycznym
oznacza, o ile przeciętnie wzrośnie (gdy a>0) lub
zmaleje (gdy a<0) wartość zmiennej objaśnianej Y,
gdy wartość zmiennej X wzrośnie o jedną jednostkę
3
zmiennej
objaśnianej
y
i
,z
wartościami
teoretycznymi
wyznaczonymi
z
modelu
,i=1,2,…,n.
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Odchylenie standardowe reszt
Model
tym
lepiej
pasuje
do
danych
empirycznych im reszty
O dopasowaniu modelu ekonometrycznego do danych
empirycznych informuje wariancja składnika losowego
. Informuje ona o zmienności składnika losowego.
Nieobciążonym
co do wartości bezwzględnej są mniejsze.
i
zgodnym
estymatorem
wariancji
składnika losowego jest:
Miary określające stopień zgodności modelu z
danymi
empirycznymi
obliczane
są na
gdzie:
e –
podstawie wartości reszt.
wektor reszt, czyli wektor odchyleń rzeczywistych wartości
zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych,
n –
liczba obserwacji
1
Analiza wariancji zmiennej objaśnianej
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Odchylenie standardowe reszt
Suma kwadratów reszt jako miara dopasowania
modelu do danych empirycznych ma tę wadę, że
przeskalowanie zmiennej objaśnianej powoduje
zmianę jej wartości. Z tego powodu w praktyce
częściej wykorzystuje się miary wyprowadzone dzięki
dekompozycji wariancji zmiennej objaśnianej.
Całkowitą zmienność zmiennej objaśnianej określaną
jako:
Odchylenie standardowe reszt modelu (in.
standardowy błąd estymacji) wyznacza się ze
wzoru:
Odchylenie standardowe reszt wskazuje, o ile
przeciętnie zaobserwowane wartości zmiennej
objaśnianej
różnią się od
wartości
można rozbić na dwie części:
teoretycznych
tej
zmiennej
wyznaczonych
z
modelu.
Wyrażenie:
czyli:
Odejmując średnią y od obu stron otrzymujemy:
można zapisać jako:
(*)
Następnie tożsamość (*) podnosimy obustronnie do
kwadratu:
Wiadomo, że:
Po zsumowaniu uzyskujemy:
Zatem:
i stąd:
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Analiza wariancji zmiennej objaśnianej
w programie Excel
gdzie:
ogólna suma kwadratów odchyleń wartości
empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej, całkowita zmienność zmiennej
suma kwadratów odchyleń wartości
teoretycznych zmiennej objaśnianej od wartości
średniej,
ANALIZA
WARIANCJI
df
SS
MS
F
Istotność F
Wartość
statystyki F
poziom
istotności
Regresja
k
SSR
SSR/k
zmienność zmiennej
objaśnianej
wyjaśniona przez model
Resztkowy
n-k-1
SSE
SSE/(n-k-1)
Razem
n-1
SST
suma kwadratów reszt, zmienność zmiennej
objaśnianej niewyjaśniona przez model
ANALIZA
WARIANCJI
Całkowita zmienność zmiennej objaśnianej, SST, jest zatem sumą
zmienności zmiennej objaśnianej wyjaśnianej przez model (SSR)
oraz
df
SS
MS
F
Istotność F
Regresja
2
0,594
0,297
346,5
1E-07
zmienności
zmiennej
objaśnianej
niewyjaśnianej
przez
Resztkowy
7
0,006
0,000857143
model (SSE):
Razem
9
0,6
12
2
Współczynnik determinacji
Inne miary dopasowania modelu do danych
Dzieląc obustronnie powyższy wzór przez SST
otrzymujemy:
Współczynnik
korelacji
wielorakiej
R
jest
pierwiastkiem
kwadratowym
ze
współczynnika
determinacji R
2
Wyrażenie
SSR/SST
nazywane
jest
współczynnikiem
determinacji i oznaczane R
2:
Współczynnik korelacji wielorakiej można traktować
jako współczynnik korelacji pomiędzy wartościami
empirycznymi zmiennej objaśnianej i wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej wyznaczonymi na
podstawie liniowego modelu ekonometrycznego.
Interpretacja:
Współczynnik korelacji wielorakiej informuje, w
jakim stopniu są skorelowane ze sobą empiryczne i
teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej.
Wartość współczynnika determinacji jest liczbą z przedziału [0, 1].
Gdyby dopasowanie modelu do danych było idealne to R
2
=1,
ponieważ wszystkie reszty e
t
byłyby równe 0.
Współczynnik determinacji R
2
informuje, w jakim stopniu
zmienność zmiennej objaśnianej wyjaśniona została przez model.
Badając jego istotność stawiamy hipotezy:
Z tablic testu F dla zadanego poziomu istotności
oraz
dla m
1
im
2
stopni swobody
odczytuje się wartość
krytyczną F*.
Interpretacja:
Jeśli , to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
H
0
. Oznacza to, żewspółczynnik korelacji wielorakiej
jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu
do danych jest zbyt słabe.
Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:
Jeśli , to hipotezę H
0
należy odrzucić na rzecz
hipotezy H
A
.Współczynnik korelacji wielorakiej jest
istotny, a stopień dopasowania modelu do danych jest
dostatecznie wysoki.
Ma ona rozkład Fishera-Snedecora o m
1
= 1 oraz m
2
=
n-2 stopniach swobody.
15
16
Niescentrowany współczynnik determinacji.
Współczynnik zbieżności
W przypadku gdy w modelu nie występuje wyraz
wolny, do mierzenia jakości dopasowania modelu do
danych należy rz st ć niescentrowany
współczynnik determinacji:
Wyrażenie
SSE/SST
nazywane
jest
współczynnikiem zbieżności i oznaczane φ
2
:
Niescentrowany
współczynnik
determinacji
Interpretacja: φ
2
informuje,
jaka
część całkowitej
przyjmuje wartości z przedziału [0, 1].
zmienności
zmiennej
objaśnianej
nie
została
wyjaśniona przez model.
3
Dopasowanie modelu do danych empirycznych
Statystyki regresji w programie Excel
Przykład 1
Korzystając z KMNK oszacować zależność wydatków
konsumpcyjnych (y
t
) od dochodów (x
t
).
Statystyki regresji
Wielokrotność R
współczynnik korelacji wielorakiej
t
wydatki
dochód
R kwadrat
współczynnik determinacji
Dopasowany R kwadrat
skorygowany współczynnik determinacji
1
150
200
Błąd standardowy
odchylenie standardowe reszt modelu
2
250
300
Obserwacje
n
3
300
400
Statystyki regresji
Wielokrotność R
4
350
400
0,99499
R kwadrat
0,99
5
400
500
Dopasowany R kwadrat
0,98714
Błąd standardowy
0,02928
6
380
500
Obserwacje
10
7
450
600
8
400
700
19
Rozwiązanie
szacujemy model:
stąd
t
30000
1
200
150
40000
2
300
250
75000
90000
3
400
300
120000
160000
4
400
350
140000
160000
5
500
400
200000
250000
6
500
380
190000
250000
czyli model ma postać:
7
600
450
270000
360000
8
700
400
280000
490000
Σ 3600
2680
1305000
1800000
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu
ekonometrycznego
Analiza wielkości błędów standardowych ocen
parametrów
Wyznaczenie standardowych błędów szacunku
parametrów a i b ma na celu sprawdzenie, czy stopień
dokładności
szacunku
wszystkich
parametrów
jest
wystarczająco wysoki.
Do
Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku
parametrów strukturalnych
α
i
β
wyznacza się ze
wzorów:
interpretacji
wygodnie
jest
posługiwać się
względnym średnim błędem szacunku:
Zbyt wielki względny średni błąd szacunku
(przekraczający 50% wartości szacowanego parametru)
przekreśla
Standardowe błędy szacunku informują, o ile przeciętnie
wartość zmiennej objaśniającej X odchyla się od wartości
średniej.
wartość poznawczą liczbowej
oceny
parametru.
24
4
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego
Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych
Estymator a
j
ma rozkład normalny o średniej
α
j
i odchyleniu
standardowym
σ
j
,comożna zapisać jako a
j
:N(
α
j
,
σ
j
).
Zatem:
Wnioskowanie o parametrach liniowego modelu ekonometrycznego
Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych
Oznacza to, że:
W praktyce zamiast nieznanego
σ
j
stosuje się S(a
j
), czyli:
Przedział ufności dla parametru
α
j
ma postać:
Aby zbudować przedział ufności dla parametru
α
j
,j=1,2,…,k,
przy współczynniku ufności (1-
γ
), należydobrać z tablic rozkładu
t-Studenta taką wartość t
γ
, n-(k+1)
,abyspełniona byłarelacja:
Długość przedziałuufności
zależy
od
poziomu
istotności
γ
,
liczby
stopni
swobody oraz wielkości standardowych błędów szacunku parametrów.
Przedział ufności jest tym węższy, im wyższa jest wartość poziomu istotności,
większa liczba stopni swobody (a więc bardziej liczna próba) oraz niższa
wartość standardowego błędu szacunku parametru.
Testowanie hipotez dotyczących wartości parametrów
strukturalnych
Badanie istotności zmiennych objaśniających
Test t-Studenta
Badanie istotności zmiennych objaśniających
Test t-Studenta
Interpretacja:
Jeżeli t>t* to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X
j
ma statystycznie
istotny wpływ na zmienną objaśnianą Y. Prawdopodobieństwo
popełnienia
Badając otność wpływu zmian wartości j-tej zmiennej
egzogenicznej na zmiany wartości zmiennej endogenicznej można
stosować statystyczny test istotności.
Testujemy hipotezy:
błędu,
polegającegonapodjęciu
błędnej
decyzji
H
0
:
α
j
= 0
H
A
:
α
j
weryfikacyjnej wynosi
.
0
Statystyka:
Jeżeli t<t* to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że zmienna X
j
ma statystycznie nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą Y.
ma rozkład t-Studenta z n - 2 stopniami swobody.
Z tablic rozkładu t-Studenta należy odczytać wartość t* = t
γ,
n-2
Precyzja oszacowań parametrów strukturalnych
modelu ekonometrycznego w programie Excel
Standardowy
błąd
szacunku
Wartość
statystyki
t-Studenta
Parametr
strukturalny
Ocena
parametru
Dolny kraniec 95%
przedziału ufności
Górny kraniec 95%
przedziału ufności
Wartość-p
α
0
a
0
S(a
0
)
t
1
poziom
α
1
a
1
S(a
1
)
t
2
istotności
α
2
a
2
S(a
2
)
t
3
Błąd
standardowy
Współczynniki
t Stat
Wartość-p
Dolne 95%
Górne 95%
Przecięcie
-0,78
0,458444575
-1,701405234 0,132657615
-1,86404916 0,30404916
x
1
0,6
0,226778684
2,645751311
0,0331455
0,063753625 1,13624638
x
2
0,9
0,196396101
4,582575695 0,002535996
0,435597016 1,36440298
5