Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Matematyka A, kolokwium, 30 listopada 2010, 18:05 – 19:59:59
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne
osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem
pisza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej
cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen
elektronicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy roz-
rusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia,
ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.)
Obliczyc pochodne naste
,
puja
,
cych funkcji:
a. (3 pt.)
tg
ln(2
x
)
,
q
x
+4
x
2
−
x
+4
c. (3 pt).
y
= (2 + sin
x
)
1
/x
.
2. (4 pt.)
Niech
f
(
x
) =
p
(
x
+
a
)
2
+
x
2
−
9
−
p
(
x
−
a
)
2
+
x
2
−
9 . Znalezc taka
,
liczbe
,
a >
0 , ze dla kazdego
x >
3 zachodzi rownosc
f
0
(
x
) = 0 .
(2 pt.)
Niech
P
be
,
dzie punktem leza
,
cym na wykresie funkcji
y
=
p
x
2
−
9 , ktorego
pierwsza
,
wspolrze
,
dna
,
jest liczba 5 . Znalezc rownanie prostej
P
stycznej do
b. (4 pt.)
3
wykresu funkcji
y
=
p
x
2
−
9 w punkcie
P
.
(4 pt.)
Niech
F
r
= (3
p
2
,
0) ,
F
`
= (
−
3
p
2
,
0) . Dowiesc, ze dwusieczna
,
ka
,
ta
F
`
PF
r
jest prosta
P
.
3. (4 pt.)
Niech
f
(
x
) =
x
3
−
x
dla
x
2
[
−
1
,
2] (poza przedzialem [
−
1
,
2] funkcja nie
jest zdefiniowana). Niech
A
=
−
1
,f
(
−
1)
,
B
=
2
,f
(2)
,
X
=
x,f
(
x
)
.
Wyrazic pole trojka
,
ta
AXB
wzorem, w zaleznosci od
x
.
(6 pt.)
Dla jakiego
x
2
[
−
1
,
2] pole trojka
,
ta
AXB
jest najwie
,
ksze?
4. (3 pt.)
Podac definicje
,
pochodnej funkcji
f
w punkcie
p
.
(7 pt.)
Obliczyc
f
(1) oraz pochodna
,
f
0
(1) , jesli
f
(
x
) = ln
x
·
sin
2
190 + (2 +
x
11
)
4
+ (
x
30
+ 8)
3
·
(1 + ln
x
)
3
·
tg
11
4
·
log
10
.
5. (3 pt.)
Sformulowac twierdzenie Lagrange’a o wartosci sredniej.
Wykazac, ze jesli
y > x >
1000 , to 0
<
ln
y
−
ln
x <
y
−
x
(3 pt.)
1000
.
(4 pt.)
Wykazac, ze jesli
y > x >
1000 , to
1999(
y
−
x
)
<
y
(1 +
y
2
)
3
/
2
−
x
(1 +
x
2
)
3
/
2
<
2000(
y
−
x
) .
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
sin(3
x
2
)
0
= 6
x
cos(3
x
2
) , ln
x
= ln
x
−
ln 1 ,
ln(cos
x
)
0
=
−
tg
x
.
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne
osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem
pisza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej
cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen
elektronicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy roz-
rusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia,
ktore zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.)
Obliczyc pochodne naste
,
puja
,
cych funkcji:
a. (3 pt.)
tg
ln(2
x
)
,
q
x
+4
x
2
−
x
+4
c. (3 pt).
y
= (2 + sin
x
)
1
/x
.
2. (4 pt.)
Niech
f
(
x
) =
p
(
x
+
a
)
2
+
x
2
−
9
−
p
(
x
−
a
)
2
+
x
2
−
9 . Znalezc taka
,
liczbe
,
a >
0 , ze dla kazdego
x >
3 zachodzi rownosc
f
0
(
x
) = 0 .
(2 pt.)
Niech
P
be
,
dzie punktem leza
,
cym na wykresie funkcji
y
=
p
x
2
−
9 , ktorego
pierwsza
,
wspolrze
,
dna
,
jest liczba 5 . Znalezc rownanie prostej
P
stycznej do
b. (4 pt.)
3
wykresu funkcji
y
=
p
x
2
−
9 w punkcie
P
.
(4 pt.)
Niech
F
r
= (3
p
2
,
0) ,
F
`
= (
−
3
p
2
,
0) . Dowiesc, ze dwusieczna
,
ka
,
ta
F
`
PF
r
jest prosta
P
.
3. (4 pt.)
Niech
f
(
x
) =
x
3
−
x
dla
x
2
[
−
1
,
2] (poza przedzialem [
−
1
,
2] funkcja nie
jest zdefiniowana). Niech
A
=
−
1
,f
(
−
1)
,
B
=
2
,f
(2)
,
X
=
x,f
(
x
)
.
Wyrazic pole trojka
,
ta
AXB
wzorem, w zaleznosci od
x
.
(6 pt.)
Dla jakiego
x
2
[
−
1
,
2] pole trojka
,
ta
AXB
jest najwie
,
ksze?
4. (3 pt.)
Podac definicje
,
pochodnej funkcji
f
w punkcie
p
.
(7 pt.)
Obliczyc
f
(1) oraz pochodna
,
f
0
(1) , jesli
f
(
x
) = ln
x
·
sin
2
190 + (2 +
x
11
)
4
+ (
x
30
+ 8)
3
·
(1 + ln
x
)
3
·
tg
11
4
·
log
10
.
5. (3 pt.)
Sformulowac twierdzenie Lagrange’a o wartosci sredniej.
Wykazac, ze jesli
y > x >
1000 , to 0
<
ln
y
−
ln
x <
y
−
x
(3 pt.)
1000
.
(4 pt.)
Wykazac, ze jesli
y > x >
1000 , to
1999(
y
−
x
)
<
y
(1 +
y
2
)
3
/
2
−
x
(1 +
x
2
)
3
/
2
<
2000(
y
−
x
) .
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
sin(3
x
2
)
0
= 6
x
cos(3
x
2
) , ln
x
= ln
x
−
ln 1 ,
ln(cos
x
)
0
=
−
tg
x
.