Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.

Matematyka A, kolokwium, 5 stycznia 2011, 18:05 – 19:55
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia.
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elek-
tronicznych; jesli ktos ma, musi wyla
,
czyc i schowac!
Nie dotyczy rozrusznikow serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore
zostaly
udowodnione
na wykladzie lub na cwiczeniach.
Nalezy przeczytac
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.)
Znalezc liczbe
,
roznych pierwiastow rzeczywistych rownania
x
3
+ 3
ax
+
a
3
= 0 w za-
leznosci od parametru
a
2
R.
(
p
1
−
x
2
−
cos
x
)
e
sin(2
x
)
−
tg(3
x
)
ln(1 + 5
x
)(tg
x
−
x
) cos(tg
x
)
2. (10 pt.)
Znalezc granice
,
lim
x
!
0
.
(
x
+1)(
x
+7)
x
−
1
(
x
+3)(
x
−
5)
(
x
−
1)
2
dla
x
6
= 1 . Wiadomo, ze
f
0
(
x
) =
oraz
f
00
(
x
) =
32
3.
Niech
f
(
x
) =
(
x
−
1)
3
.
(2 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
jest rosna
,
ca i te, na ktorych jest maleja
,
ca.
(2 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
jest wypukla i te na ktorych jest wkle
,
sla,
znalezc punkty przegie
,
cia funkcji
f
.
(2 pt.)
Znalezc asymptoty funkcji
f
.
(4 pt.)
W oparciu o uzyskane informacje naszkicowac wykres funkcji
f
.
q
(
x
+1)(
x
+7)
x
−
1
4.
Niech
'
(
x
) =
dla
x
6
= 1 . Wiadomo, ze dla
x
2 {−
1
,
1
,
5
,
−
7
}
zachodza
,
wzory
3
3
(
x
+ 3)(
x
−
5)
3
p
(
x
−
1)
−
4
(
x
+ 1)
−
2
(
x
+ 7)
−
2
1
'
0
(
x
) =
oraz
9
(111+324
x
+74
x
2
+4
x
3
−
x
4
)
3
p
(
x
−
1)
−
7
(
x
+ 1)
−
5
(
x
+ 7)
−
5
'
00
(
x
) =
2
przy czym
'
00
(
x
) = 0
,
x
=
x
1
−
0
,
3738 lub
x
=
x
2
12
,
2555 ,
'
(3)
(
x
1
)
6
= 0
6
=
'
(3)
(
x
2
) .
(1 pt.)
Znalezc
'
0
(
−
1) oraz
'
0
(
−
7) lub wykazac, ze te pochodne nie istnieja
,
.
(1 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
'
rosnie i te, na ktorych maleje.
(2 pt.)
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
'
jest wypukla i te na ktorych jest wkle
,
sla,
znalezc punkty przegie
,
cia funkcji
'
.
(2 pt.)
Wykazac, ze jesli 13
< s < t
, to
'
7
s
+
7
t
>
7
'
(
s
) +
3
3
7
'
(
t
) .
(4 pt.)
W oparciu o uzyskane informacje naszkicowac wykres funkcji
'
.
5. (10 pt.)
Z helikoptera znajduja
,
cego sie
,
na wysokosci 60 m nad powierzchnia morza wyslano
promien swiatla do nurka znajduja
,
cego sie
,
na gle
,
bokosci 40 m pod powierzchnia
,
wody. Odleglosc
w poziomie
mie
,
dzy helikopterem i nurkiem jest rowna 110 m. Przyjmujemy, ze pre
,
dkosc
swiatla w powietrzu to 300 000 km/s a — w wodzie to 225 000 km/s. Wiedza
,
c, ze swiatlo
„wybiera” taka
,
droge
,
, na przebycie ktorej potrzeba najmniej czasu, znalezc punkt, w ktorym
promien wszedl do wody, tzn. znalezc odleglosc tego punktu od punktu na powierzchni wody,
nad ktorym znajduje sie
,
helikopter.
Moze warto cos narysowac?
Wygodna
,
jednostka
,
w tym zadaniu jest 1 dam = 10 m (dekametr).
Pomnozyc zawsze sie
,
zda
,
zy, a pomyslec?
W dekametrach szukana odleglosc to nieduza calkowita.
Ciekawostki (ktoz wie, co sie
,
moze przydac):
(1 +
x
)
a
= 1 +
ax
+
2
x
2
+
3
x
3
+
···
=
P
n
=0
n
x
n
,
(2
n
+1)!
,
cos
x
0
=
−
sin
x
+
···
=
P
n
=0
(
−
1)
n x
2
n
+1
sin
x
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
1
2
17
3
x
3
+
15
x
5
+
315
x
7
+
···
.
tg
x
=
x
+
 
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hannaeva.xlx.pl