Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 14
14.Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyjęty jest podział materii na
ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy ciecze i ga-
zy. Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, sformułowaliśmy mecha-
nikę ciał sztywnych. Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki płynów musimy wpro-
wadzić nowy formalizm ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku gazów
przyjmują objętość równą objętości naczynia. Wygodnym jest w związku z tym sformu-
łowanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w szczególny spo-
sób.
14.1 Ciśnienie i gęstość
Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym, że
dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu
podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może
równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może
zmieniać kształt i płynąć. Wygodnie jest więc opisywać siłę działającą na płyn za po-
mocą
ciśnienia p
zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednost-
kę powierzchni
. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na
dowolne przekroje płynów
prostopadle
do tych ścianek i przekrojów w każdym punk-
cie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.
W układzie SI jednostką jest (
pascal
), 1 Pa = 1 N/m
2
. Innymi jednostkami są bar (1 bar
= 10
5
Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
Płyn znajdujący się pod ciśnieniem wywiera siłę na każdą powierzchnię będącą z
nim w kontakcie. Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (rysunek).
S
S
Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor
S
(długość równa po-
wierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz). Wtedy siła
F
wywierana przez
płyn na ten element powierzchni wynosi
F
= p
S
(14.1a)
Ponieważ
F
i
S
mają ten sam kierunek więc ciśnienie
p
można zapisać
14-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
p
=
F
/
S
(14.1b)
Do opisu płynów stosujemy pojęcie
gęstości
ρ
:
ρ =
m
/
V
(14.2)
Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatura, ciśnienie. W tabeli przed-
stawiony jest zakres wartości gęstości spotykanych w przyrodzie.
Materiał
ρ (kg/m
3
)
przestrzeń międzygwiezdna
najlepsza próżnia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0 °C)
powietrze (50 atm 0 °C)
Ziemia: wartość średnia
ń
skorupa
Białe karły
jądro uranu
10
-18
- 10
-21
10
-17
1.3
6.5
5.52·10
3
9.5·10
3
2.8·10
3
10
8
- 10
15
10
17
14.2 Zmianyciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu
Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Roz-
patrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od po-
ziomu odniesienia. Grubość dysku wynosi d
y
, a powierzchnia każdej strony wynosi
S
.
Masa takiego elementu wynosi ρ
S
d
y
, a jego ciężar ρ
gS
d
y
. Przypominam, że siły działa-
jące na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).
(p+dp)S
pS
y
poziom odniesienia y=0
Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są
wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Element płynu
nie jest przyspieszany więc wypadkowa siła działająca nań musi być zerem. Dla zacho-
wania równowagi w pionie trzeba więc by:
14-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
pS
= (
p
+d
p
)
S
+ ρ
gS
d
y
a stąd
d
p
=
−
ρ
d
y
Równanie to pokazuje, że ciśnienie zmienia się ze zmianą wysokości ponad pewien po-
ziom odniesienia. Gdy wysokość rośnie tzn. d
y
> 0 wtedy d
p
< 0 tzn. ciśnienie maleje.
Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy
różnicę ciśnień. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe),
różnice w wysokości nie są na tyle duże żeby uwzględniać zmiany
g
więc możemy dla
jednorodnej cieczy zapisać powyższe równanie w postaci:
∆
p
=
−
ρ
∆
y
stąd
(
p
2
−
p
1
) = -ρ
g
(
y
2
−
y
1
)
Jeżeli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby
przenieść poziom odniesienia na powierzchnię przyjmujemy
y
2
równe wzniesieniu tej
powierzchni. Wtedy ciśnienie
p
2
(na powierzchni) jest równe ciśnieniu atmosferyczne-
mu
p
0
. Teraz
y
1
opisuje położenie (wysokość) pewnego poziomu w cieczy. Ciśnienie na
tym poziomie oznaczmy
p
. Wtedy
p
0
−
p
= -ρ
g
(
y
2
−
y
1
)
Ponieważ
y
2
-
y
1
jest głębokością
h
poniżej poziomu cieczy więc
p = p
0
+ρ
gh
(14.3)
Związek ten nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest
jednakowe dla punktów o tej samej głębokości.
Dla gazów ρ
jest małe i różnica ciśnień w dwóch punktach jest zazwyczaj do pominię-
cia i dlatego można przyjmować, że ciśnienie gazu w naczyniu jest wszędzie jednako-
we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczną różnicą wysoko-
ści (gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie, zmienia się
też ρ. Np. na wysokości około 6 km ciśnienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w
głąb morza wynosi 600 atm.
14-3
g
g
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy dzia-
łać ciśnieniem zewnętrznym
p
0
.
p
0
A
W każdym punkcie
A
znajdującym się na głębokości
h
od górnej powierzchni cieczy,
ciśnienie jest dane wyrażeniem
p
=
p
0
+ ρ
gh
nieważ ciecze są nieści-
śliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ciśnienie teraz wynosi
p
=
p
0
+∆
p
0
+ ρ
gh
W
Prawo to formułuje się następująco:
ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przeka-
zywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia
.
Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak
praw
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy
lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część po-
wierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się
siłą wyporu
.
o Archimedesa
.
P
ło więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam płyn co
płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił.
14-4
h
Możemy powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość ∆
p
0
. Po
ynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa się
prawem Pascala
.
onieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono cia-
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi pły-
nu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy
prawo Ar-
chimedesa:
ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze
siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu
. Tak więc
F
wyporu
= m
wypartego płynu
g =
ρ
Vg
(14.4)
gdzie ρ jest gęstością płynu, a
V
objętością części zanurzonej ciała.
14.4 Pomiarciśnienia (barometr)
Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rtęciowy i tym samym podał spo-
sób pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa się z rurki wy-
pełnionej rtęcią (ρ = 13.6·10
3
kg/m
3
), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak
na rysunku.
p
=0
h
A
B
Ciśnienia w punktach
A
i
B
muszą być jednakowe bo punkty te są na jednakowej
wy
sokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami
p
A
=
ρ
gh
podczas gdy
p
B
= p
atm
P
onieważ
p
A
= p
B
więc
ρ
gh = p
atm
h
=
p
g
= 0.76 m
M
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).
ierząc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.
14-5
atm
ρ
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
Wykład 14
14.Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyjęty jest podział materii na
ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy ciecze i ga-
zy. Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, sformułowaliśmy mecha-
nikę ciał sztywnych. Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki płynów musimy wpro-
wadzić nowy formalizm ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku gazów
przyjmują objętość równą objętości naczynia. Wygodnym jest w związku z tym sformu-
łowanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w szczególny spo-
sób.
14.1 Ciśnienie i gęstość
Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym, że
dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu
podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może
równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może
zmieniać kształt i płynąć. Wygodnie jest więc opisywać siłę działającą na płyn za po-
mocą
ciśnienia p
zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednost-
kę powierzchni
. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na
dowolne przekroje płynów
prostopadle
do tych ścianek i przekrojów w każdym punk-
cie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.
W układzie SI jednostką jest (
pascal
), 1 Pa = 1 N/m
2
. Innymi jednostkami są bar (1 bar
= 10
5
Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
Płyn znajdujący się pod ciśnieniem wywiera siłę na każdą powierzchnię będącą z
nim w kontakcie. Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (rysunek).
S
S
Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor
S
(długość równa po-
wierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz). Wtedy siła
F
wywierana przez
płyn na ten element powierzchni wynosi
F
= p
S
(14.1a)
Ponieważ
F
i
S
mają ten sam kierunek więc ciśnienie
p
można zapisać
14-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
p
=
F
/
S
(14.1b)
Do opisu płynów stosujemy pojęcie
gęstości
ρ
:
ρ =
m
/
V
(14.2)
Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatura, ciśnienie. W tabeli przed-
stawiony jest zakres wartości gęstości spotykanych w przyrodzie.
Materiał
ρ (kg/m
3
)
przestrzeń międzygwiezdna
najlepsza próżnia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0 °C)
powietrze (50 atm 0 °C)
Ziemia: wartość średnia
ń
skorupa
Białe karły
jądro uranu
10
-18
- 10
-21
10
-17
1.3
6.5
5.52·10
3
9.5·10
3
2.8·10
3
10
8
- 10
15
10
17
14.2 Zmianyciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu
Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Roz-
patrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od po-
ziomu odniesienia. Grubość dysku wynosi d
y
, a powierzchnia każdej strony wynosi
S
.
Masa takiego elementu wynosi ρ
S
d
y
, a jego ciężar ρ
gS
d
y
. Przypominam, że siły działa-
jące na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).
(p+dp)S
pS
y
poziom odniesienia y=0
Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są
wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Element płynu
nie jest przyspieszany więc wypadkowa siła działająca nań musi być zerem. Dla zacho-
wania równowagi w pionie trzeba więc by:
14-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
pS
= (
p
+d
p
)
S
+ ρ
gS
d
y
a stąd
d
p
=
−
ρ
d
y
Równanie to pokazuje, że ciśnienie zmienia się ze zmianą wysokości ponad pewien po-
ziom odniesienia. Gdy wysokość rośnie tzn. d
y
> 0 wtedy d
p
< 0 tzn. ciśnienie maleje.
Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy
różnicę ciśnień. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe),
różnice w wysokości nie są na tyle duże żeby uwzględniać zmiany
g
więc możemy dla
jednorodnej cieczy zapisać powyższe równanie w postaci:
∆
p
=
−
ρ
∆
y
stąd
(
p
2
−
p
1
) = -ρ
g
(
y
2
−
y
1
)
Jeżeli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby
przenieść poziom odniesienia na powierzchnię przyjmujemy
y
2
równe wzniesieniu tej
powierzchni. Wtedy ciśnienie
p
2
(na powierzchni) jest równe ciśnieniu atmosferyczne-
mu
p
0
. Teraz
y
1
opisuje położenie (wysokość) pewnego poziomu w cieczy. Ciśnienie na
tym poziomie oznaczmy
p
. Wtedy
p
0
−
p
= -ρ
g
(
y
2
−
y
1
)
Ponieważ
y
2
-
y
1
jest głębokością
h
poniżej poziomu cieczy więc
p = p
0
+ρ
gh
(14.3)
Związek ten nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest
jednakowe dla punktów o tej samej głębokości.
Dla gazów ρ
jest małe i różnica ciśnień w dwóch punktach jest zazwyczaj do pominię-
cia i dlatego można przyjmować, że ciśnienie gazu w naczyniu jest wszędzie jednako-
we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczną różnicą wysoko-
ści (gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie, zmienia się
też ρ. Np. na wysokości około 6 km ciśnienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w
głąb morza wynosi 600 atm.
14-3
g
g
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy dzia-
łać ciśnieniem zewnętrznym
p
0
.
p
0
A
W każdym punkcie
A
znajdującym się na głębokości
h
od górnej powierzchni cieczy,
ciśnienie jest dane wyrażeniem
p
=
p
0
+ ρ
gh
nieważ ciecze są nieści-
śliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ciśnienie teraz wynosi
p
=
p
0
+∆
p
0
+ ρ
gh
W
Prawo to formułuje się następująco:
ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przeka-
zywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia
.
Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak
praw
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy
lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część po-
wierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się
siłą wyporu
.
o Archimedesa
.
P
ło więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam płyn co
płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił.
14-4
h
Możemy powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość ∆
p
0
. Po
ynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa się
prawem Pascala
.
onieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono cia-
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi pły-
nu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy
prawo Ar-
chimedesa:
ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze
siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu
. Tak więc
F
wyporu
= m
wypartego płynu
g =
ρ
Vg
(14.4)
gdzie ρ jest gęstością płynu, a
V
objętością części zanurzonej ciała.
14.4 Pomiarciśnienia (barometr)
Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rtęciowy i tym samym podał spo-
sób pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa się z rurki wy-
pełnionej rtęcią (ρ = 13.6·10
3
kg/m
3
), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak
na rysunku.
p
=0
h
A
B
Ciśnienia w punktach
A
i
B
muszą być jednakowe bo punkty te są na jednakowej
wy
sokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami
p
A
=
ρ
gh
podczas gdy
p
B
= p
atm
P
onieważ
p
A
= p
B
więc
ρ
gh = p
atm
h
=
p
g
= 0.76 m
M
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).
ierząc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.
14-5
atm
ρ