Zgryźliwość kojarzy mi się z radością, która źle skończyła.
Ć w i c z e n i e 12
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNICTWA
CIEPLNEGO CIAŁ STAŁYCH METODĄ CHRISTIANSENA
12.1 Opis teoretyczny
Zjawisko przewodnictwa cieplnego w ciałach stałych polega na transporcie energii w postaci ciepła
w ciele ogrzanym w sposób nierównomierny. Fizycznym przykładem realizującym ten warunek
jest warstwa materiału, której płaskie powierzchnie posiadają różne temperatury. Stan taki można
uzyskać doprowadzając do jednej z nich ciepło, np. z grzejnika, od drugiej zaś jednocześnie odbie-
rając ciepło z taką samą prędkością. Taki ustalony rozkład temperatur w ciałach nazywamy stanem
stacjonarnym.
Podstawowym równaniem fizycznym opisującym przewodnictwo cieplne w tym przypadku jest
równanie Fouriera
Q
= λ
⋅
S
⋅
∆
T
(12.1)
∆
X
Gdzie Q oznacza ilość ciepła przechodzącą w jednostce czasu przez jednorodną warstwę o grubości
∆ X i powierzchni S przy różnicy temperatur ∆T.
We wzorze tym λ jest współczynnikiem charakteryzującym właściwości środowiska, w którym
występuje przypływ ciepła. Nazywa się go współczynnikiem przewodnictwa cieplnego lub prze-
wodnością cieplną. W ogólnym przypadku temperatura T w różnych punktach ciała zmienia się z
upływem czasu T = f(X,Y,Z,t). Stan taki wystąpi, np. gdy w wyżej opisanym przykładzie szybkość
dostarczania ciepłą i odbierania z drugiej strony rozpatrywanej warstwy są różne.
Funkcję T określa się rozwiązując równanie przewodnictwa cieplnego, które dla jednorodnego izo-
tropowego ciała bez wewnętrznych źródeł ciepła przyjmuje postać.
∂
T
∂
2
T
∂
2
T
∂
2
T
=
a
⋅
+
+
(12.2)
∂
t
∂
X
2
∂
Y
2
∂
Z
2
Wielkość
a
charakteryzuje szybkość wyrównania się temperatury i nosi nazwę współczynnika wy-
równania temperatury. Współczynnik
a
ma znaczenie fizyczne zredukowanego współczynnika
przewodnictwa cieplnego i związany jest z wielkością λ następującym wzorem:
a
=
c
λ
⋅
ρ
(12.3)
gdzie: ρ - gęstość ciała;
c
- ciepło właściwe, równe co do wartości ilości ciepła w J potrzebnej do
ogrzania masy 1 kg ciała o 1 K.
Wartość współczynnika λ można wyznaczyć doświadczalnie za pomocą wzoru 12.1 mierząc bez-
pośrednio Q, S, ∆T, ∆x. Okazuje się jednak, że spośród czterech wymienionych wielkości ilość
ciepła jest wielkością, której bezpośrednie zmierzenie nastręcza szereg trudności. Dlatego też niżej
będzie opisana metoda wyznaczania λ, która omija te trudności.
12.2. Metoda pomiaru
Proponowana metoda nosi nazwę metody Christiansena. Jest to metoda porównawcza, w której po-
równuje się współczynniki przewodzenia ciepła badanego materiału ze współczynnikiem innego
(wzorcowego) materiału, dla którego wartość λ jest znana. Tym samym mierzenie ilości ciepła Q
nie jest konieczne. Zasada tej metody jest następująca: dwie płytki zrobione z materiałów o współ-
czynnikach λ
0
(znany) i λ
X
(nieznany) umieszcza się między równoległymi ściankami o różnych
temperaturach, które nie ulegają zmianie w czasie doświadczenia. Jeśli grubości płytek d
0
i d
x
są
małe ( w porównaniu z ich powierzchnią), to w ich środkowej części strumień cieplny jest prosto-
padły do powierzchni i nie zależy od obecności bocznych granic (brzegów płytek). Dla cienkich
płytek powierzchnia obszaru niezakłóconego strumienia bliska jest całkowitej powierzchni płytki S
i z dużą dokładnością może być do niej przyrównywana. W tym wypadku na podstawie wzoru
(12.1) można napisać
Q
=
λ
⋅
S
⋅
∆
T
X
=
λ
⋅
S
⋅
∆
T
0
(12.4)
X
d
0
d
X
0
stąd:
λ
=
λ
⋅
d
X
⋅
∆
T
0
(12.5)
X
d
∆
T
0
X
12.3. Opis zestawu pomiarowego
Przyrząd Christiansena schematycznie pokazany jest na rysunku 12.1. Jest to system składający się
z grzejnika o temperaturze T
1
i chłodnicy o temperaturze T
2
. Temperatura T
1
wytwarzana jest przez
przepływ wody podgrzanej w termostacie, a T
2
przez przepływ wody z sieci wodociągowej. Stru-
mień cieplny przechodzi od grzejnika do chłodnicy przez zaciśnięte między nimi płytki (krążki) z
badanego i wzorcowego materiału.
W charakterze wzorca najwygodniej byłoby użyć materiału elastycznego w celu uzyskania dobrego
kontaktu cieplnego. Jednak współczynniki przewodzenia cieplnego wielu znanych materiałów ela-
stycznych silnie zależą od temperatury. Dlatego też w naszym ćwiczeniu jako wzorca używa się
płytki z ciała sztywnego, którego współczynnik λ
0
będzie podany w instrukcji załączonej do zesta-
wu pomiarowego. Dla uzyskania dobrego kontaktu cieplnego płytki (wzorcową i badaną) umiesz-
cza się pomiędzy krążkami z elastycznej gumy. Temperaturę ich powierzchni określa się za pomo-
cą termopar, których pierwsze (robocze) złącza umieszcza się na środku płytek, drugie zaś (zimne)
zanurza w naczyniu Dewara w wodzie z lodem. Za pomocą specjalnego przełącznika termopary
mogą być kolejno podłączone do galwanometru. Jego wskazania są wprost proporcjonalne do róż-
nicy temperatur roboczego i zimnego złączy termopary. Należy jeszcze zauważyć, że wskazania
galwanometru przy podłączeniu do niego różnych termopar proporcjonalne są do ich czułości.
Ponieważ jednak do wzorów 12.4 i 12.5 wchodzi bezwymiarowy stosunek ∆Τ
0
/∆Τ
X
, to bezwzględ-
ne czułości termopar ( w miliamperach na stopień) nie są potrzebne i wystarczy znać ich czułości
względne będą podane w tabeli załączonej do zestawu pomiarowego). Analogicznie, do wzoru nie
wchodzą wartości temperatur w punktach, w których umieszczone są złącza termopar.
Gorąca woda
T
1
λ
d
X
Końce
termopar
λ
d
0
Końce
term
opar
Zimna woda
T
2
Rys.12.1 Przyrząd Christiansena
12.4 . Przebieg pomiarów
1. Zapoznać się z budową przyrządu, obsługą termostatu i galwanometru. Po uzyskaniu pozwole-
nia od prowadzącego zajęcia rozpocząć właściwe pomiary.
2. Zapomocą suwmiarki zmierzyć grubość płytki badanej i wzorcowej.
3. Ocenić doświadczalnie ustalenia równowagi strumienia cieplnego w badanym układzie. W tym
celu po skręceniu płytek i termopar, w takiej kolejności jak podaje rysunek, należy włączyć
termostat i doprowadzić w nim temperaturę do 45
0
C, następnie przepuścić przez chłodnicę
wodę z sieci wodociągowej, po czym wyznaczyć zależność temperatury złącza dowolnej ter-
mopary od czasu i z prowizorycznie uzyskanego wykresu ocenić czas ustalenia równowagi
strumienia cieplnego.
4. Poustaleniusię równowagi zmierzyć za pomocą termopar ( podłączając je kolejno do galwa-
nometru) różnicę temperatur ∆T
0
na wzorcowej płytce oraz ∆T
x
na badanej.
5. Wyłączyć termostat, odczekać aż temperatura grzejnika nieco opadnie, po czym powtórzyć
pomiary opisane w punkcie 4.
6. Ocenić dokładność odczytu różnic temperatury δ (∆T
x
), δ (∆T
0
).
12.5 Opracowanie wyników pomiarów
1. Obliczyć współczynnik λ
X
korzystając z bezpośrednich wyników dla obu pomiarów
(wzór(12.5)).
2. Wyjaśnić ewentualne rozbieżności uzyskanych wyników.
3. Obliczyć względny błąd wartości λ
x
posługując się wzorem na błąd graniczny (patrz wzór (W-
2.14) we wstępie).
4. Znając wartość błędu względnego obliczyć błąd bezwzględny.
5. Przeprowadzić dyskusję uzyskanych rezultatów
L i t e r a t u r a
[1] Jaworski B., Dietłaf D.: Kurs fizyki, t.1. PWN, Warszawa 1968.
[2] Kohlrausch F.: Fizyka laboratoryjna, t.1. PWN, Warszawa 1959.
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hannaeva.xlx.pl
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNICTWA
CIEPLNEGO CIAŁ STAŁYCH METODĄ CHRISTIANSENA
12.1 Opis teoretyczny
Zjawisko przewodnictwa cieplnego w ciałach stałych polega na transporcie energii w postaci ciepła
w ciele ogrzanym w sposób nierównomierny. Fizycznym przykładem realizującym ten warunek
jest warstwa materiału, której płaskie powierzchnie posiadają różne temperatury. Stan taki można
uzyskać doprowadzając do jednej z nich ciepło, np. z grzejnika, od drugiej zaś jednocześnie odbie-
rając ciepło z taką samą prędkością. Taki ustalony rozkład temperatur w ciałach nazywamy stanem
stacjonarnym.
Podstawowym równaniem fizycznym opisującym przewodnictwo cieplne w tym przypadku jest
równanie Fouriera
Q
= λ
⋅
S
⋅
∆
T
(12.1)
∆
X
Gdzie Q oznacza ilość ciepła przechodzącą w jednostce czasu przez jednorodną warstwę o grubości
∆ X i powierzchni S przy różnicy temperatur ∆T.
We wzorze tym λ jest współczynnikiem charakteryzującym właściwości środowiska, w którym
występuje przypływ ciepła. Nazywa się go współczynnikiem przewodnictwa cieplnego lub prze-
wodnością cieplną. W ogólnym przypadku temperatura T w różnych punktach ciała zmienia się z
upływem czasu T = f(X,Y,Z,t). Stan taki wystąpi, np. gdy w wyżej opisanym przykładzie szybkość
dostarczania ciepłą i odbierania z drugiej strony rozpatrywanej warstwy są różne.
Funkcję T określa się rozwiązując równanie przewodnictwa cieplnego, które dla jednorodnego izo-
tropowego ciała bez wewnętrznych źródeł ciepła przyjmuje postać.
∂
T
∂
2
T
∂
2
T
∂
2
T
=
a
⋅
+
+
(12.2)
∂
t
∂
X
2
∂
Y
2
∂
Z
2
Wielkość
a
charakteryzuje szybkość wyrównania się temperatury i nosi nazwę współczynnika wy-
równania temperatury. Współczynnik
a
ma znaczenie fizyczne zredukowanego współczynnika
przewodnictwa cieplnego i związany jest z wielkością λ następującym wzorem:
a
=
c
λ
⋅
ρ
(12.3)
gdzie: ρ - gęstość ciała;
c
- ciepło właściwe, równe co do wartości ilości ciepła w J potrzebnej do
ogrzania masy 1 kg ciała o 1 K.
Wartość współczynnika λ można wyznaczyć doświadczalnie za pomocą wzoru 12.1 mierząc bez-
pośrednio Q, S, ∆T, ∆x. Okazuje się jednak, że spośród czterech wymienionych wielkości ilość
ciepła jest wielkością, której bezpośrednie zmierzenie nastręcza szereg trudności. Dlatego też niżej
będzie opisana metoda wyznaczania λ, która omija te trudności.
12.2. Metoda pomiaru
Proponowana metoda nosi nazwę metody Christiansena. Jest to metoda porównawcza, w której po-
równuje się współczynniki przewodzenia ciepła badanego materiału ze współczynnikiem innego
(wzorcowego) materiału, dla którego wartość λ jest znana. Tym samym mierzenie ilości ciepła Q
nie jest konieczne. Zasada tej metody jest następująca: dwie płytki zrobione z materiałów o współ-
czynnikach λ
0
(znany) i λ
X
(nieznany) umieszcza się między równoległymi ściankami o różnych
temperaturach, które nie ulegają zmianie w czasie doświadczenia. Jeśli grubości płytek d
0
i d
x
są
małe ( w porównaniu z ich powierzchnią), to w ich środkowej części strumień cieplny jest prosto-
padły do powierzchni i nie zależy od obecności bocznych granic (brzegów płytek). Dla cienkich
płytek powierzchnia obszaru niezakłóconego strumienia bliska jest całkowitej powierzchni płytki S
i z dużą dokładnością może być do niej przyrównywana. W tym wypadku na podstawie wzoru
(12.1) można napisać
Q
=
λ
⋅
S
⋅
∆
T
X
=
λ
⋅
S
⋅
∆
T
0
(12.4)
X
d
0
d
X
0
stąd:
λ
=
λ
⋅
d
X
⋅
∆
T
0
(12.5)
X
d
∆
T
0
X
12.3. Opis zestawu pomiarowego
Przyrząd Christiansena schematycznie pokazany jest na rysunku 12.1. Jest to system składający się
z grzejnika o temperaturze T
1
i chłodnicy o temperaturze T
2
. Temperatura T
1
wytwarzana jest przez
przepływ wody podgrzanej w termostacie, a T
2
przez przepływ wody z sieci wodociągowej. Stru-
mień cieplny przechodzi od grzejnika do chłodnicy przez zaciśnięte między nimi płytki (krążki) z
badanego i wzorcowego materiału.
W charakterze wzorca najwygodniej byłoby użyć materiału elastycznego w celu uzyskania dobrego
kontaktu cieplnego. Jednak współczynniki przewodzenia cieplnego wielu znanych materiałów ela-
stycznych silnie zależą od temperatury. Dlatego też w naszym ćwiczeniu jako wzorca używa się
płytki z ciała sztywnego, którego współczynnik λ
0
będzie podany w instrukcji załączonej do zesta-
wu pomiarowego. Dla uzyskania dobrego kontaktu cieplnego płytki (wzorcową i badaną) umiesz-
cza się pomiędzy krążkami z elastycznej gumy. Temperaturę ich powierzchni określa się za pomo-
cą termopar, których pierwsze (robocze) złącza umieszcza się na środku płytek, drugie zaś (zimne)
zanurza w naczyniu Dewara w wodzie z lodem. Za pomocą specjalnego przełącznika termopary
mogą być kolejno podłączone do galwanometru. Jego wskazania są wprost proporcjonalne do róż-
nicy temperatur roboczego i zimnego złączy termopary. Należy jeszcze zauważyć, że wskazania
galwanometru przy podłączeniu do niego różnych termopar proporcjonalne są do ich czułości.
Ponieważ jednak do wzorów 12.4 i 12.5 wchodzi bezwymiarowy stosunek ∆Τ
0
/∆Τ
X
, to bezwzględ-
ne czułości termopar ( w miliamperach na stopień) nie są potrzebne i wystarczy znać ich czułości
względne będą podane w tabeli załączonej do zestawu pomiarowego). Analogicznie, do wzoru nie
wchodzą wartości temperatur w punktach, w których umieszczone są złącza termopar.
Gorąca woda
T
1
λ
d
X
Końce
termopar
λ
d
0
Końce
term
opar
Zimna woda
T
2
Rys.12.1 Przyrząd Christiansena
12.4 . Przebieg pomiarów
1. Zapoznać się z budową przyrządu, obsługą termostatu i galwanometru. Po uzyskaniu pozwole-
nia od prowadzącego zajęcia rozpocząć właściwe pomiary.
2. Zapomocą suwmiarki zmierzyć grubość płytki badanej i wzorcowej.
3. Ocenić doświadczalnie ustalenia równowagi strumienia cieplnego w badanym układzie. W tym
celu po skręceniu płytek i termopar, w takiej kolejności jak podaje rysunek, należy włączyć
termostat i doprowadzić w nim temperaturę do 45
0
C, następnie przepuścić przez chłodnicę
wodę z sieci wodociągowej, po czym wyznaczyć zależność temperatury złącza dowolnej ter-
mopary od czasu i z prowizorycznie uzyskanego wykresu ocenić czas ustalenia równowagi
strumienia cieplnego.
4. Poustaleniusię równowagi zmierzyć za pomocą termopar ( podłączając je kolejno do galwa-
nometru) różnicę temperatur ∆T
0
na wzorcowej płytce oraz ∆T
x
na badanej.
5. Wyłączyć termostat, odczekać aż temperatura grzejnika nieco opadnie, po czym powtórzyć
pomiary opisane w punkcie 4.
6. Ocenić dokładność odczytu różnic temperatury δ (∆T
x
), δ (∆T
0
).
12.5 Opracowanie wyników pomiarów
1. Obliczyć współczynnik λ
X
korzystając z bezpośrednich wyników dla obu pomiarów
(wzór(12.5)).
2. Wyjaśnić ewentualne rozbieżności uzyskanych wyników.
3. Obliczyć względny błąd wartości λ
x
posługując się wzorem na błąd graniczny (patrz wzór (W-
2.14) we wstępie).
4. Znając wartość błędu względnego obliczyć błąd bezwzględny.
5. Przeprowadzić dyskusję uzyskanych rezultatów
L i t e r a t u r a
[1] Jaworski B., Dietłaf D.: Kurs fizyki, t.1. PWN, Warszawa 1968.
[2] Kohlrausch F.: Fizyka laboratoryjna, t.1. PWN, Warszawa 1959.